Hoe vind je de limiet van sqrt (x ^ 2-9) / (2x-6) als x benaderingen -oo?

Antwoord:

Doe een beetje factoring om te krijgen #lim_ (x -> - oo) = - 1/2 #.

Uitleg:

Wanneer we in het oneindige met limieten omgaan, is het altijd nuttig om een factor te bepalen #X#of een # X ^ 2 #, of welke kracht dan ook #X# vereenvoudigt het probleem. Laten we hier een factor voor gebruiken # X ^ 2 # van de teller en een #X# uit de noemer:

#lim_ (x -> - oo) (sqrt (x ^ 2-9)) / (2x-6) = (sqrt ((x ^ 2) (1-9 / (x ^ 2)))) / (x (2-6 / x)) #

# = (Sqrt (x ^ 2) sqrt (1-9 / (x ^ 2))) / (x (2-6 / x)) #

Hier begint het interessant te worden. Voor #x> 0 #, #sqrt (x ^ 2) # is positief; echter voor #x <0 #, #sqrt (x ^ 2) # is negatief. In wiskundige termen:

#sqrt (x ^ 2) = abs (x) # voor #x> 0 #

#sqrt (x ^ 2) = - x # voor #x <0 #

Omdat we te maken hebben met een limiet bij negatieve oneindigheid, #sqrt (x ^ 2) # wordt #-X#:

# = (- xsqrt (1-9 / (x ^ 2))) / (x (2-6 / x)) #

# = (- sqrt (1-9 / (x ^ 2))) / (2-6 / x) #

Nu kunnen we de schoonheid van deze methode zien: we hebben een # 9 / x ^ 2 # en # 6 / x #, die beide zullen gaan #0# zoals #X# gaat naar negatieve oneindigheid:

#lim_ (x -> - oo) = (- sqrt (1-0)) / (2-0) #

#lim_ (x -> - oo) = - 1/2 #