Wat is het gebied omsloten door 2x + 3y <= 6?

Antwoord:

#A = 12 #

Uitleg:

De absolute waarde wordt gegeven door

# | A | = {(a, a> 0), (- a, a <0):} #

Als zodanig zijn er vier gevallen om hier te overwegen. Het gebied ingesloten door # 2 | x | 3 | y | <= 6 # wordt het gebied dat wordt omhuld door de vier verschillende gevallen. Dit zijn respectievelijk:

#diamond x> 0 en y> 0 #

# 2 | x | 3 | y | <= 6 #

# 2x + 3y <= 6 => y <= 2-2 / 3x #

Het gedeelte van het gebied dat we zoeken, wordt het gebied dat wordt gedefinieerd door de grafiek

#y = 2-2 / 3x #

en de assen:

Omdat dit een rechthoekige driehoek is met hoekpunten #(0,2)#, #(3,0)# en #(0,0)#, zijn benen zullen lengtes hebben #2# en #3# en zijn gebied zal zijn:

# A_1 = (2 * 3) / 2 = 3 #

Het tweede geval zal zijn

#diamond x <0 en y> 0 #

# 2 | x | 3 | y | <= 6 #

# -2x + 3y <= 6 => y <= 2 + 2 / 3x #

Nogmaals, het benodigde gebied zal worden gedefinieerd door de grafiek # Y = 2 + 2 / 3x # en de assen:

Deze heeft hoekpunten #(0,2)#, #(-3,0)# en #(0,0)#, opnieuw hebbende benen van lengte #2# en #3#.

# A_2 = (2 * 3) / 2 = 3 #

Er is hier duidelijk een soort symmetrie. Op analoge wijze zal het oplossen voor de vier gebieden hetzelfde resultaat opleveren; alle driehoeken hebben een oppervlakte #3#. Als zodanig is het gebied ingesloten door

# 2 | x | + 3 | y | <= 6 #

is

# A = A_1 + A_2 + A_3 + A_4 = 4 * 3 = 12 #

Zoals hierboven te zien, de vorm beschreven door # 2 | x | 3 | y | <= 6 # is een ruit.