De reële getallen a, b en c voldoen aan de vergelijking: 3a ^ 2 + 4b ^ 2 + 18c ^ 2 - 4ab - 12ac = 0. Hoe kun je, door perfecte vierkanten te vormen, bewijzen dat a = 2b = c?

Antwoord:

# A = 2b = 3c #, Zie de uitleg en het onderstaande bewijs.

Uitleg:

# 3a ^ 2 + 4b ^ 2 + 18c ^ 2-4ab-12ac = 0 #

Merk op dat de coëfficiënten allemaal gelijk zijn, behalve voor een ^ 2, d.w.z.: 3, herschrijf als volgt om te groeperen voor factoring:

# A ^ 2-4ab + 4b ^ 2 + 2a + 2-12ac ^ 18c ^ 2 = 0 #

# (A ^ 2-4ab 4b + ^ 2) 2 (a ^ + 2-6ac 9c ^ 2) = 0 #

# (a - 2b) ^ 2 + 2 (a-3c) ^ 2 = 0 #

We hebben een perfecte vierkante term plus tweemaal een perfect vierkant van een andere term gelijk aan nul, want om dit waar te doen moet elke term van de som gelijk zijn aan nul, dan:

# (a - 2b) ^ 2 = 0 # en # 2 (a-3c) ^ 2 = 0 #

# A-2b = 0 # en # A-3c = 0 #

# A = 2b # en # A = 3c #

dus:

# A = 2b = 3c #

Vandaar bewezen.