Wat is de limiet als x de oneindigheid van (1 + a / x) ^ (bx) nadert?

Door logaritme en de Regel van l'Hopital te gebruiken, #lim_ {x tot infty} (1 + a / x) ^ {bx} = e ^ {ab} #.

Door de vervanging te gebruiken # T = a / x # of equivalent # X = a / t #, # (1 + a / x) ^ {bx} = (1 + t) ^ {{ab} / t} #

Door logaritmische eigenschappen te gebruiken,

# = e ^ {ln (1 + t) ^ {{ab} / t}} = e ^ {{ab} / t ln (1 + t)} = e ^ {ab {ln (1 + t) } / t} #

Bij de regel van l'Hopital, #lim_ {t to 0} {ln (1 + t)} / {t} = lim_ {t to 0} {1 / {1 + t}} / {1} = 1 #

Vandaar, #lim_ {x tot infty} (1 + a / x) ^ {bx} = e ^ {ab lim_ {t to 0} {ln (1 + t)} / {t}} = e ^ {ab} #

(Notitie: #t tot 0 # zoals #x tot infty #)