Wat is de helling van de lijn loodrecht op de raaklijn van f (x) = sec ^ 2x-xcos (x-pi / 4) bij x = (15pi) / 8?

Antwoord:

# => y = 0.063 (x - (15pi) / 8) - 1.08 #

Interactieve grafiek

Uitleg:

Het eerste dat we moeten doen is berekenen #f '(x) # op #x = (15pi) / 8 #.

Laten we deze term op termijn doen. Voor de # Sec ^ 2 (x) # termijn, merk op dat we twee functies hebben die in elkaar zijn ingebed: # X ^ 2 #, en #sec (x) #. We moeten hier dus een kettingregel gebruiken:

# d / dx (sec (x)) ^ 2 = 2sec (x) * d / dx (sec (x)) #

#color (blauw) (= 2sec ^ 2 (x) tan (x)) #

Voor de tweede termijn moeten we een productregel gebruiken. Zo:

# d / dx (xcos (x-pi / 4)) = kleur (rood) (d / dx (x)) cos (x-pi / 4) + kleur (rood) (d / dxcos (x-pi / 4))(X)#

#color (blauw) (= cos (x-pi / 4) - xsin (x-pi / 4)) #

U vraagt zich misschien af waarom we geen kettingregel voor dit onderdeel hebben gebruikt, omdat we een # (x - pi / 4) # in de cosinus. Het antwoord is dat we het impliciet hebben gedaan, maar we hebben het genegeerd. Merk op hoe de afgeleide van # (x - pi / 4) # is gewoon 1? Vandaar dat het vermenigvuldigen van dat niets verandert, dus we schrijven het niet uit in berekeningen.

Nu plaatsen we alles samen:

# d / dx (sec ^ 2x-xcos (x-pi / 4)) = kleur (violet) (2sec ^ 2 (x) tan (x) - cos (x-pi / 4) + xsin (x-pi / 4)) #

Let op je tekenen.

Nu moeten we de helling van de lijn tangent vinden #f (x) # op #x = (15pi) / 8 #. Om dit te doen, stoppen we gewoon deze waarde in #f '(x) #:

# f '((15pi) / 8) = (2sec ^ 2 ((15pi) / 8) tan ((15pi) / 8) - cos ((15pi) / 8-pi / 4) + (15pi) / 8sin ((15pi) / 8-pi / 4)) = kleur (violet) (~~ -6.79) #

Wat we echter willen is niet de lijn die raakt aan f (x), maar aan de lijn normaal ernaar toe. Om dit te krijgen, nemen we alleen de negatieve reciproke van de helling erboven.

#m_ (norm) = -1 / -15.78 kleur (violet) (~~ 0.015) #

Nu passen we alles gewoon in de vorm van een punthelling:

#y = m (x-x_0) + y_0

# => y = 0.063 (x - (15pi) / 8) - 1.08 #

Bekijk deze interactieve grafiek om te zien hoe dit eruit ziet!

Hoop dat het geholpen heeft:)