Wat is phi, hoe is het ontdekt en zijn zijn toepassingen?

Antwoord:

Een paar gedachten …

Uitleg:

#phi = 1/2 + sqrt (5) / 2 ~~ 1.6180339887 # staat bekend als de gulden snede.

Het was bekend en bestudeerd door Euclid (ca. 3e of 4e eeuw v.Chr.), In feite voor vele geometrische eigenschappen …

Het heeft veel interessante eigenschappen, waarvan hier een paar …

De Fibonacci-reeks kan recursief worden gedefinieerd als:

# F_0 = 0 #

# F_1 = 1 #

#F_ (n + 2) = F_n + F_ (n + 1) #

Het begint:

#0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987,…#

De verhouding tussen opeenvolgende termen neigt naar # Phi #. Dat is:

#lim_ (n-> oo) F_ (n + 1) / F_n = phi #

In feite wordt de algemene term van de Fibonacci-reeks gegeven door de formule:

#F_n = (phi ^ n - (-phi) ^ (- n)) / sqrt (5) #

Een rechthoek met zijden in verhouding #phi: 1 # wordt een Gouden rechthoek genoemd. Als een vierkant met maximale grootte van een uiteinde van een gouden rechthoek wordt verwijderd, is de overblijvende rechthoek een gouden rechthoek.

Dit heeft te maken met zowel de limietverhouding van de Fibonacci-reeks als het feit dat:

#phi = 1; balk (1) = 1 + 1 / (1 + 1 / (1 + 1 / (1 + 1 / (1 + 1 / (1 + …))))) #

wat de meest langzaam convergerende standaard voortgezette fractie is.

Als je drie gouden rechthoeken symmetrisch loodrecht op elkaar plaatst in de driedimensionale ruimte, dan vormen de twaalf hoeken de hoekpunten van een regelmatige icosaëder. Daarom kunnen we het oppervlak en het volume van een gewone icosaëder met een bepaalde straal berekenen. Zie

Een gelijkbenige driehoek met zijden in verhouding #phi: phi: 1 # heeft basishoeken # (2pi) / 5 # en apex-hoek # Pi / 5 #. Dit stelt ons in staat exacte algebraïsche formules te berekenen voor #sin (pi / 10) #, #cos (pi / 10) # en uiteindelijk voor een veelvoud van # Pi / 60 # (#3^@#). Zie