Wat zijn de extrema- en zadelpunten van f (x, y) = xy (e ^ (y ^ 2) -e ^ (x ^ 2))?

Antwoord:

# {: ("Kritiek punt", "Conclusie"), ((0,0,0), "zadel"):} #

Uitleg:

De theorie om de extrema van te identificeren # Z = f (x, y) # is:

1. Los simultaan de kritische vergelijkingen op

   # (gedeeltelijke f) / (gedeeltelijke x) = (gedeeltelijke f) / (gedeeltelijke y) = 0 # (d.w.z # F_x = f_y = 0 #)

2. schatten #f_ (x x), f_ (yy) en f_ (xy) (= f_ (yx)) # op elk van deze kritieke punten. Vandaar evalueren # Delta = f_ (x x) f_ (yy) -f_ (xy) ^ 2 # op elk van deze punten
3. Bepaal de aard van de extrema;

   # {: (Delta> 0, "Er is minimum als" f_ (xx) <0), (, "en een maximum als" f_ (jj)> 0), (Delta <0, "er is een zadelpunt"), (Delta = 0, "Verdere analyse is noodzakelijk"):} #

Dus we hebben:

# f (x, y) = xy (e ^ (y ^ 2) -e ^ (x ^ 2)) #

# "" = xye ^ (y ^ 2) - xye ^ (x ^ 2) #

Laten we de eerste deelderivaten vinden:

# (gedeeltelijke f) / (gedeeltelijke x) = ye ^ (y ^ 2) + {(-xy) (2xe ^ (x ^ 2)) + (-y) (e ^ (x ^ 2))} #

# = ye ^ (y ^ 2) -2x ^ 2ye ^ (x ^ 2) -ye ^ (x ^ 2) #

# (gedeeltelijke f) / (gedeeltelijke y) = {(xy) (2ye ^ (y ^ 2)) + (x) (e ^ (y ^ 2))} - xe ^ (x ^ 2) #

# = 2xy ^ 2e ^ (y ^ 2) + xe ^ (y ^ 2) - xe ^ (x ^ 2) #

Dus onze kritische vergelijkingen zijn:

# ye ^ (y ^ 2) -2x ^ 2ye ^ (x ^ 2) -ye ^ (x ^ 2) = 0 => y (e ^ (y ^ 2) -2x ^ 2e ^ (x ^ 2) - e ^ (x ^ 2)) = 0 #

# 2xy ^ 2e ^ (y ^ 2) + xe ^ (y ^ 2) - xe ^ (x ^ 2) = 0 => x (2y ^ 2e ^ (y ^ 2) + e ^ (y ^ 2) - e ^ (x ^ 2)) = 0 #

Uit de volgende vergelijkingen hebben we:

# y = 0 # of # e ^ (y ^ 2) -e ^ (x ^ 2) = 2x ^ 2e ^ (x ^ 2) #

# x = 0 # of # e ^ (y ^ 2) - e ^ (x ^ 2) = -2y ^ 2e ^ (y ^ 2) #

En de enige gelijktijdige oplossing is # X = y = 0 #

En dat hebben we ook gedaan een kritisch punt bij de oorsprong

Laten we nu de tweede deelderivaten bekijken, zodat we de aard van het kritieke punt kunnen bepalen (ik citeer deze resultaten gewoon):

# (gedeeltelijke ^ 2f) / (gedeeltelijke x ^ 2) = -4x ^ 3ye ^ (x ^ 2) -6xye ^ (x ^ 2) #

# (gedeeltelijke ^ 2f) / (gedeeltelijke y ^ 2) = 4xy ^ 3e ^ (y ^ 2) + 6xye ^ (y ^ 2) #

# (gedeeltelijke ^ 2f) / (gedeeltelijke x gedeeltelijke y) = e ^ (y ^ 2) -e ^ (x ^ 2) -2x ^ 2e ^ (x ^ 2) + 2y ^ 2e ^ (y ^ 2) (= (gedeeltelijke ^ 2f) / (gedeeltelijke y gedeeltelijke x)) #

En we moeten berekenen:

# Delta = (gedeeltelijke ^ 2f) / (gedeeltelijke x ^ 2) (gedeeltelijke ^ 2f) / (gedeeltelijke y ^ 2) - ((gedeeltelijke ^ 2f) / (gedeeltelijke x gedeeltelijke y)) ^ 2 #

op elk kritiek punt. De tweede gedeeltelijke afgeleide waarden, #Delta#en conclusie zijn als volgt:

# {: ("Critical Point", (partial ^ 2f) / (partial x ^ 2), (partial ^ 2f) / (partial y ^ 2), (partial ^ 2f) / (partial x partial y), Delta, "Conclusie"), ((0,0,0), 0,0,0, = 0, "inclusief"):} #

Dus na al dat werk is het nogal teleurstellend om een inclusief resultaat te krijgen, maar als we het gedrag rond het kritieke punt onderzoeken, kunnen we gemakkelijk vaststellen dat het een zadelpunt is.

We kunnen deze kritieke punten zien als we naar een 3D-plot kijken: