Een superheld lanceert zichzelf vanaf de bovenkant van een gebouw met een snelheid van 7,3 m / s in een hoek van 25 boven de horizontaal. Als het gebouw 17 m hoog is, hoe ver reikt hij dan horizontaal voordat hij de grond bereikt? Wat is zijn eindsnelheid?

Een diagram hiervan zou er als volgt uitzien:

Wat ik zou doen is een lijst maken van wat ik weet. We zullen nemen negatief als omlaag en links als positief.

#h = "17 m" #

#vecv_i = "7.3 m / s" #

#veca_x = 0 #

#vecg = - "9.8 m / s" ^ 2 #

#Deltavecy =? #

#Deltavecx =? #

#vecv_f =? #

DEEL EEN: DE ASCENSIE

Wat ik zou doen is vinden waar het top is om te bepalen # Deltavecy #en werk vervolgens in een vrijevalscenario. Merk op dat aan de top, #vecv_f = 0 # omdat de persoon verandert van richting op grond van de overheersing van de zwaartekracht bij het verlagen van de verticale component van de snelheid door nul en in de minpunten.

Eén vergelijking met # Vecv_i #, # Vecv_f #, en # Vecg # is:

# mathbf (vecv_ (fy) ^ 2 = vecv_ (iy) ^ 2 + 2vecgDeltavecy) #

waar we zeggen #vecv_ (fy) = 0 # aan de top.

Sinds #vecv_ (fy) ^ 2 <vecv_ (iy) ^ 2 # en #Deltavecy> 0 #, # Deltavecv_y ^ 2 <0 # en deze vergelijking vraagt ons inderdaad om te gebruiken #g <0 #.

Voor een deel 1:

#color (blauw) (Deltavecy) = (vecv_ (fy) ^ 2 - v_ (iy) ^ 2) / (2g) = kleur (blauw) ((- v_ (iy) ^ 2) / (2g))> 0 #

waar #vecv_ (fy) = 0 # is de eindsnelheid voor een deel 1.

Herinner dat een verticale snelheid een heeft # Sintheta # component (teken een rechthoekige driehoek en pak de #sintheta = (vecv_ (y)) / (vecv) # relatie).

#color (groen) (Deltavecy = (-v_ (i) ^ 2 sin ^ 2theta) / (2g))> 0 #

Nu dat we hebben # Deltavecy # en dat weten we # Vecv_y # is van richting veranderd, kunnen we veronderstellen vrije val komt voor.

De totale hoogte van de herfst is #color (groen) (h + Deltavecy) #. Dat is iets dat we voor een deel kunnen gebruiken 2.

ik krijg # Deltavecy # om te zijn # "0.485 m" # en #h + Deltavecy # om te zijn #color (blauw) ("17,485 m") #.

DEEL TWEE: DE GRATIS VAL

We kunnen het opnieuw behandelen # Y # richting onafhankelijk van de #X# richting, sinds #veca_x = 0 #.

Aan de top, herinner dat #color (groen) (vecv_ (iy) = 0) #, wat de beginsnelheid voor een deel is 2en was de uiteindelijke snelheid gedeeltelijk 1. Nu kunnen we een andere 2D-kinematische vergelijking gebruiken. Vergeet niet dat de totale hoogte dat niet is # Deltavecy # hier!

# mathbf (h + Deltavecy = 1 / 2g t_ "vrije val" ^ 2) + annuleren (v_ (iy) t_ "vrije val") ^ (0) #

Nu kunnen we gewoon de tijd oplossen die nodig is om vanaf de top de grond te raken.

#color (groen) (t_ "vrije val") = sqrt ((2 (h + Deltavecy)) / g) #

# = kleur (groen) (sqrt ((2 (h - (v_ (i) ^ 2 sin ^ 2theta) / (2g))) / g)) #

en uiteraard is tijd natuurlijk niet altijd negatief, dus we kunnen het negatieve antwoord negeren.

… En we komen er.

DEEL DRIE: OPLOSSING VOOR DE HORIZONTALE AFSTAND

We kunnen dezelfde kinematica-vergelijking hergebruiken als de vorige. Een van de dingen waar we voor hebben gekozen is # Deltax #, wat is:

#color (blauw) (Deltax) = annuleren (1 / 2a_xt ^ 2) ^ (0) + v_ (ix) t #

Gebruik zoals eerder een trig-relatie om de #X# component (# Costheta #).

# = kleur (blauw) (vecv_icostheta * t_ "overall")> 0 #

waar #t_ "overall" # is NIET wat we kregen 2, maar zal de tijd omvatten #t_ "sprong" # gaande van het gebouw tot de top van de vlucht en #t_ "vrije val" # die we eerder hebben verworven.

#Deltay = 1 / 2vecg t_ "sprong" ^ 2 + vecv_ (iy) t_ "sprong" #

Met #Deltay ~~ "0.485 m" #. Wanneer we dit oplossen met behulp van de kwadratische vergelijking, zou het opleveren:

#t_ "sprong" = (- (vecv_ (iy)) + sqrt ((vecv_ (iy)) ^ 2 - 4 (1 / 2vecg) (- | Deltay |))) / (2 * 1 / 2vecg) #

# ~~ "0.3145 s" #

Neem de tijd op die voor apex op de grond is vergaard en je moet erover beginnen #color (blauw) ("2.20 s") # voor de hele vlucht. Laten we dit noemen #t_ "overall" #.

#t_ "algemeen" = t_ "sprong" + t_ "vrije val" #

Gebruik makend van #t_ "overall" #, Ik krijg #color (blauw) (Deltavecx ~~ "14.58 m") #.

DEEL VIER: OPLOSSING VOOR DE LAATSTE VELOCITY

Dit gaat een beetje meer denken vereisen. We weten dat #h = "17 m" # en we hebben # Deltax #. Daarom kunnen we de hoek bepalen met betrekking tot de horizontale grond.

#tantheta '= (h + Deltavecy) / (Deltavecx) #

#color (blauw) (theta '= arctan ((h + Deltavecy) / (Deltavecx))) #

Let op hoe we gebruikten #h + Deltavecy # omdat we in feite omhoog sprongen voordat we vielen, en we niet recht vooruit sprongen. Dus, de hoek # Theta # impliceert # Deltax # en de totale hoogte, en we zullen de omvang van de totale hoogte hiervoor.

En tot slot, sinds # Vecv_x # is niet al die tijd veranderd (we negeren de luchtweerstand hier):

#color (groen) (vecv_ (fx)) = vecv_ (ix) = vecv_fcostheta '= kleur (groen) (vecv_icostheta')> 0 #

waar # Vecv_i # is de beginsnelheid van een deel 1. Nu moeten we gewoon weten wat #vecv_ (fy) # is gedeeltelijk 2. Ga terug naar het begin om te zien:

#vecv_ (fy) ^ 2 = annuleren (vecv_ (iy) ^ 2) ^ (0) + 2vecg * (h + Deltavecy) #

Daarom wordt dit:

#color (groen) (vecv_ (fy) = -sqrt (2vecg * (h + Deltavecy))) <0 #

Vergeet niet dat we hebben gedefinieerd omlaag als negatief, dus # h + Deltay <0 #.

Oké, we zijn er bijna. Er wordt om gevraagd # Vecv_f #. Daarom eindigen we met het gebruik van de De stelling van Pythagoras.

# vecv_f ^ 2 = vecv_ (fx) ^ 2 + vecv_ (fy) ^ 2 #

#color (blauw) (vecv_f = -sqrt (vecv_ (fx) ^ 2 + vecv_ (fy) ^ 2)) <0 #

Over het geheel genomen #color (blauw) (| vecv_f | ~~ "19.66 m / s") #.

En dat zou alles zijn! Controleer je antwoord en vertel me of het gelukt is.

Hier de vel. van projectie, # V = 7.3ms ^ -1 #

de engel. van projectie,# A = 25 ^ 0 # boven horizontaal

De opwaartse verticale component van vel projectie,# vsinalpha = 7.3 * sin25 ^ 0 = 7.3 * 0.42ms ^ -1 ~~ 3.07ms ^ -1 #

Het gebouw is 17m hoog, de netto verticale verplaatsing die de grond bereikt zal zijn # H = 17m # terwijl de superheld zichzelf opwaarts projecteerde (hier positief)

Als de vluchttijd, dat wil zeggen het tijdstip voor het bereiken van de grond, als T wordt beschouwd

dan met behulp van de formule #h = vsinalpha * t-1/2 * g * t ^ 2 # we kunnen hebben

# => - 17 = 3,07 * T-0,5 * 9,8 * T ^ 2 #

# => 4.9T ^ 2-3.07T-17 = 0 #

door beide zijden te delen door 4.9 krijgen we

# => T ^ 2-0.63T-3,47 = 0 #

# => T = (0,63 + sqrt ((- 0,63) ^ 2-4 * 1 * (- 3,47))) / 2 ~~ 2.20s #

(negatieve tijd weggegooid)

Dus Hero's horizontale verplaatsing voor het bereiken van de grond zal zijn

# = T * vcosalpha = 2.20 ** 7.3cos (25 ^ 0) ~~ 14.56m #

Berekening van de snelheid op het moment dat de grond wordt bereikt

Verticale componentsnelheid bij het bereiken van de grond

# v_y ^ 2 = u ^ 2sin ^ 2alpha + 2xx (-9.8) xx (-17) #

Weer een horizontaal onderdeel van de snelheid op het moment van bereiken van de grond

# => V_x = ucosalpha #

Dus resulterende snelheid op het moment van bereiken van grond

# V_r = sqrt (v_x ^ 2 + v_y ^ 2) = sqrt (u ^ 2sin 2alpha ^ + ^ u ^ 2cos 2alfa-2xx9.8xx17) #

# => V_r = sqrt (u ^ 2 + 2xx9.8xx17) #

# => V_r = sqrt (7,3 ^ 2 + 2xx9.8xx17) = 19.66 "m / s" #

Richting van # V_r # met het horizontale vlak# = Tan ^ -1 (v_y / v_x) #

# = Tan ^ -1 (sqrt (u ^ ^ 2sin 2alpha + 2xx (-9,8) xx (-17)) / (ucosalpha)) #

# = tan ^ -1 (sqrt (7.3 ^ 2sin ^ 2 25 + 2xx (-9.8) xx (-17)) / (7.3cos25)) #

# = 70.3 ^ @ -> "neerwaarts met de horizontale" #

Is het nuttig?