X (P (x) Q (x)) xP (x) xQ (x) x (P (x) Q (x)) xP (x) xQ (x ). Help me alsjeblieft met de eerste verklaring?

Om deze uitspraken te begrijpen, moeten we eerst de gebruikte notatie begrijpen.

• # AA # - voor iedereen - Dit symbool geeft aan dat iets waar is voor elk voorbeeld binnen een set. Dus, wanneer we een variabele toevoegen #X#, # AAx # betekent dat een verklaring van toepassing is op elke mogelijke waarde of item die we kunnen vervangen #X#.

• # P (x), Q (x) # - voorstel - Dit zijn logische proposities over #X#, dat wil zeggen, ze vertegenwoordigen uitspraken over #X# die voor een bepaalde waar of onwaar zijn #X#.

• # # - en - Dit symbool maakt de combinatie van meerdere proposities mogelijk. Het gecombineerde resultaat is waar, wanneer beide proposities true en anders false retourneren.

• # # - of - Dit symbool maakt ook de combinatie van meerdere proposities mogelijk. Het gecombineerde resultaat is onwaar als beide proposities foutief retourneren en anders waar.

• # # - als en alleen als - Dit symbool maakt ook de combinatie van meerdere proposities mogelijk. Het gecombineerde resultaat is waar als beide proposities dezelfde waarheidswaarde voor iedereen retourneren #X#, en anders niet waar.

Hiermee kunnen we de verklaringen nu vertalen. De eerste uitspraak, direct geformuleerd, zou klinken als "Voor alle x, P van x en Q van x als en alleen als voor alle x, P van x, en voor alle x, Q van x."

Sommige kleine toevoegingen en aanpassingen maken het iets begrijpelijker.

"Voor alle x geldt dat P en Q waar zijn voor x als en alleen als P waar is voor alle x en Q waar is voor alle x."

Deze verklaring is een tautologie, dat wil zeggen, het is waar ongeacht wat we vervangen voor P of Q. We kunnen dit aantonen door aan te tonen dat de propositie voorafgaand aan de de een na hem impliceert, en omgekeerd.

Vertrekkende van de eerdere verklaring hebben we dat voor elke #X#, #P (x) Q (x) # is waar. Volgens onze bovenstaande definitie betekent dat dat voor elke #X#, #P (x) # is waar en #Q (x) # is waar. Dit impliceert dat voor iedereen #X#, #P (x) # is waar en voor iedereen #X#, #Q (x) # is waar, wat de uitspraak na de is.

Als we beginnen met de verklaring die na de verschijnt, dan weten we dat voor wie dan ook #X#, #P (x) # is waar en voor iedereen #X#, #Q (x) # is waar. Dan voor iedereen #X#, #P (x) # en #Q (x) # zijn beide waar, betekenis voor iedereen #X#, #P (x) Q (x) # is waar. Dit bewijst dat de eerste verklaring altijd waar is.

De tweede verklaring is onjuist. Zonder het volledige proces zoals hierboven te doorlopen, kunnen we eenvoudig aantonen dat de twee proposities aan weerszijden van de niet altijd dezelfde waarheidswaarde hebben. Stel dat dat voor de helft van alles mogelijk is #X#, #P (x) # is waar en #Q (x) # is onjuist en voor de andere helft, #Q (x) # is waar en #P (x) # is fout.

In dit geval, zoals voor iedereen #X#, een van beide #P (x) # of #Q (x) # is waar, de propositie #AAx (P (x) Q (x)) # is waar (zie de beschrijvingen van hierboven). Maar omdat er waarden voor zijn #X# waarvoor #P (x) # is onjuist, de propositie #AAxP (x) # is fout. Evenzo #AAxQ (x) # is ook onjuist, wat betekent #AAxP (x) AAxQ (x) # is fout.

Omdat de twee proposities verschillende waarheidswaarden hebben, kan de waarheid van de ene persoon de waarheid van de ander niet garanderen, en dus komt het samenvoegen ervan met tot een nieuwe propositie die onjuist is.