Wat is de halfwaardetijd van (Na ^ 24) als een onderzoeksassistent 160 mg radioactief natrium (Na ^ 24) maakte en ontdekte dat er slechts 45 mg 45 uur later was overgebleven?

Antwoord:

#color (blauw) ("De halfwaardetijd is 15 uur.") #

Uitleg:

We moeten een vergelijking van de vorm vinden:

#A (t) = A (0) e ^ (kt) #

Waar:

#BB (A (t)) = # het bedrag na tijd t.

#BB (A (0) = # het bedrag aan het begin. d.w.z. t = 0.

# BBK = # de groei / vervalfactor.

# Bbe = # Euler's nummer.

# Bbt = # tijd, in dit geval uren.

Wij zijn gegeven:

#A (0) = 160 #

#A (45) = 20 #

We moeten oplossen voor # BBK #:

# 20 = 160e ^ (45k) #

Verdelen door 160:

# 1/8 = e ^ (45k) #

Natuurlijke logaritmen van beide kanten nemen:

#ln (1/8) = 45kln (e) #

#ln (e) = 1 #

Vandaar:

#ln (1/8) = 45k #

Verdelen door 45:

#ln (1/8) / 45 = k #

#:.#

#A (t) = 160e ^ (t (ln (1/8) / 45)) #

#A (t) = 160e ^ (t / 45 (ln (1/8)) #

#A (t) = 160 (1/8) ^ (t / 45) #

Omdat per definitie de halfwaardetijd de periode is waarin we de helft van het startbedrag hebben:

#A (t) = 80 #

Dus we moeten oplossen voor t in:

# 80 = 160 * (1/8) ^ (t / 45) #

# 80/160 = (1/8) ^ (t / 45) #

# 1/2 = (1/8) ^ (t / 45) #

Natuurlijke logaritmen gebruiken:

#ln (1/2) = t / 45ln (1/8) #

# 45 * (ln (1/2)) / (ln (1/8)) = t = 15 #

De halfwaardetijd is 15 uur.

Antwoord:

15 uur

Uitleg:

Snelle weg

Naarmate de hoeveelheid van een rottende substantie helfft elk halfwaardetijd (vandaar de naam), het halveren van het aantal in stappen vereist 3 stappen om van 160 tot 20 te komen:

# 160 tot 80 tot 40 tot 20 #

En #45 = 3 * 15#

De halfwaardetijd is dus 15 jaar.

Meer formele manier

Voor een halfwaardetijd # Tau #, waar # X (t) # is de hoeveelheid (massa / aantal deeltjes / etc) die overblijft op tijdstip t:

#X (t) = X_o (1/2) ^ (t / tau) qquad square #

Zo:

#X (0) = X_o, X (tau) = X_o / 2, X (2tau) = X_o / 4, … #

Aansluiten van de waarden die worden gegeven #plein#:

# 20 = 160 * (1/2) ^ (45 / tau) #

#implies (1/2) ^ (45 / tau) = 1/8 qquad qquad = (1/2) ^ 3 #

#implies 45 / tau = 3 duidt tau = 15 # aan

De halfwaardetijd van een bepaald radioactief materiaal is 75 dagen. Een initiële hoeveelheid van het materiaal heeft een massa van 381 kg. Hoe schrijf je een exponentiële functie die het verval van dit materiaal modelleert en hoeveel radioactief materiaal er na 15 dagen overblijft?

Halveringstijd: y = x * (1/2) ^ t met x als beginbedrag, t als "tijd" / "halveringstijd", en y als het uiteindelijke bedrag. Om het antwoord te vinden, plug de formule in: y = 381 * (1/2) ^ (15/75) => y = 381 * 0.87055056329 => y = 331.679764616 Het antwoord is ongeveer 331.68

De halfwaardetijd van een bepaald radioactief materiaal is 85 dagen. Een initiële hoeveelheid van het materiaal heeft een massa van 801 kg. Hoe schrijf je een exponentiële functie die het verval van dit materiaal modelleert en hoeveel radioactief materiaal er overblijft na 10 dagen?

Laat m_0 = "Initiële massa" = 801kg "op" t = 0 m (t) = "Massa op tijdstip t" "De exponentiële functie", m (t) = m_0 * e ^ (kt) ... (1) "where" k = "constant" "Halveringstijd" = 85days => m (85) = m_0 / 2 Nu wanneer t = 85days dan m (85) = m_0 * e ^ (85k) => m_0 / 2 = m_0 * e ^ (85k) => e ^ k = (1/2) ^ (1/85) = 2 ^ (- 1/85) Als we de waarde van m_0 en e ^ k in (1) plaatsen, krijgen we m (t) = 801 * 2 ^ (- t / 85) Dit is de functie.die ook in exponentiële vorm kan worden geschreven als m (t) = 801 * e ^ (- (tlog2) / 85) Nu blijft de

Een onderzoeksassistent maakte 160 mg radioactief natrium (Na ^ 24) en ontdekte dat er pas 45 uur later 45 minuten over was, hoeveel van de oorspronkelijke 20 mg zou er over 12 uur overblijven?

= 11,49 mg blijft over. Laat de snelheid van het verval x per uur zijn. Dus we kunnen 160 (x) ^ 45 = 20 of x ^ 45 = 20/160 of x ^ 45 = 1/8 of x = root45 (1/8 schrijven) ) of x = 0.955 Evenzo na 12 uur 20 (0.955) ^ 12 = 20 (0.57) = 11.49 mg blijft over