Driehoek A heeft een oppervlakte van 12 en twee zijden van lengte 6 en 9. Driehoek B is vergelijkbaar met driehoek A en heeft een zijde met lengte 15. Wat zijn de maximale en minimaal mogelijke gebieden van driehoek B?

Antwoord:

Maximale oppervlakte van #triangle B = 75 #

Minimum oppervlakte van #triangle B = 100/3 = 33.3 #

Uitleg:

Vergelijkbare driehoeken hebben identieke hoeken en verhoudingen. Dat betekent het verandering in lengte van elke zijde is groter of kleiner dezelfde voor de andere twee zijden. Dientengevolge, het gebied van de #vergelijkende driehoek # zal ook een verhouding zijn van de een naar de ander.

Het is aangetoond dat als de verhouding van de zijden van dezelfde driehoeken R is, de verhouding van de gebieden van de driehoeken dat is # R ^ 2 #.

Voorbeeld: voor een # 3,4,5, rechthoekige driehoek # zittend op is #3# basis, het gebied kan gemakkelijk worden berekend vorm # Å_à = 1 / 2BH = 1/2 (3) (4) = 6 #.

Maar als alle drie kanten zijn verdubbelde in lengte, het gebied van de nieuwe driehoek is # A_B = 1 / 2BH = 1/2 (6) (8) = 24 # welke is #2^2# = 4A_A.

Uit de gegeven informatie moeten we de gebieden van twee nieuwe driehoeken vinden waarvan de zijden van beide zijn vergroot # 6 of 9 tot 15 # dat zijn # Soortgelijke # naar de originele twee.

Hier hebben we #triangle A's # met een gebied # A = 12 # en zijden # 6 en 9. #

We hebben ook grotere #vergelijkende driehoek B's # met een gebied # B # en kant #15.#

De verhouding van de verandering in oppervlakte van #triangle A naar driehoek B # waar kant # 6 tot 15 # is dan:

#triangle B = (15/6) ^ 2triangle A #

#triangle B = (15/6) ^ 2 (12) #

#triangle B = (225 / (cancel (36) 3)) (cancel (12)) #

#triangle B = 75 #

De verhouding van de verandering in oppervlakte van #triangle A naar driehoek B # waar kant # 9 tot 15 # is dan:

#triangle B = (15/9) ^ 2triangle A #

#triangle B = (15/9) ^ 2 (12) #

#triangle B = (225 / (cancel (81) 27)) (cancel (12) 4) #

#triangle B = (cancel (900) 100) / (cancel (27) 3) #

#triangle B = 100/3 = 33.3 #

Antwoord:

Het minimum is #2.567# en het maximum is #70.772#

Uitleg:

DIT ANTWOORD KAN ONGELDIG ZIJN EN WACHT OP RECALCULATIE EN DUBBELE CONTROLE! Controleer het antwoord van EET-AP voor een beproefde methode om het probleem op te lossen.

Omdat de twee driehoeken vergelijkbaar zijn, noem ze driehoek #ABC# en # DEF #, # A / D = B / E = C / F #. We krijgen niet aan welke kant lengte 15 heeft, dus we moeten het voor elke waarde berekenen (# A = 6, B = 9 #), en om dit te doen, moeten we de waarde van # C #.

Begin met het herinneren van de stelling van Heron # A = sqrt (S (S-A) (S-B) (S-C)) # waar # S = (A + B + C) / 2 #. # A + B = 15 #, dus # S = 7,5 + C #. Dus, de vergelijking voor het gebied (vervangen door #12#) is # 12 = sqrt ((7,5 + C / 2) (7,5 + C / 2-6) (7,5 + C / 2-9) (7,5 + C / 2-C) #. Dit vereenvoudigt naar # 144 = (7,5 + C / 2) (1,5 + C / 2) (7,5-C / 2) #, die ik vermenigvuldig met twee voor het elimineren van decimalen om te krijgen # 288 = (15 + C) (3 + C) (15-C) #. Vermenigvuldig dit om te krijgen # 144 = -C ^ 3-3C ^ 2 + 225C + 675 #, # 0 = -C ^ 3-3C ^ 2 + 225C + 531 #, # 0 = C ^ 3 + 3C ^ 2-225C-531 #. Factor dit te krijgen # ~ C = 14,727 #.

We kunnen deze informatie nu gebruiken om de gebieden te vinden. Als # F = 12 #, de schaalfactor tussen de driehoeken is #14.727/12#. Het vermenigvuldigen van de andere twee zijden met dit aantal levert op # D = 13,3635 # en # ~ E = 11,045 #, en # ~ S = 19,568 #. Sluit dit aan in de formule van Heron om te krijgen # A = 70,772 #. Volg dezelfde reeks stappen met

# D = 12 # om dat minimum te vinden #EEN# ongeveer gelijk aan #2.567#.