(1 + a + b) ^ 2 = 3 (1 + a ^ 2 + b ^ 2) Laten we het doen ???

Antwoord:

#a = 1, b = 1 #

Uitleg:

De traditionele manier oplossen

# (1 + a + b) ^ 2 - 3 (1 + a ^ 2 + b ^ 2) = 0 rArr 1 - a + a ^ 2 - b - a b + b ^ 2 = 0 #

Nu op te lossen #een#

#a = 1/2 (1 + b pm sqrt 3 sqrt 2 b - b ^ 2-1) # maar #een# moet echt zijn, dus de conditie is

# 2 b - b ^ 2-1 ge 0 # of # b ^ 2-2b + 1 le 0 rArr b = 1 #

nu substitueren en oplossen #een#

# 1 - 2 a + a ^ 2 = 0 rArr a = 1 # en de oplossing is

#a = 1, b = 1 #

Een andere manier om hetzelfde te doen

# (1 + a + b) ^ 2 - 3 (1 + a ^ 2 + b ^ 2) = 0 rArr 1 - a + a ^ 2 - b - a b + b ^ 2 = 0 #

maar

# 1 - a + a ^ 2 - b - a b + b ^ 2 = (a-1) ^ 2 + (b-1) ^ 2- (a-1) (b-1) #

en tot slot

# (a-1) ^ 2 + (b-1) ^ 2- (a-1) (b-1) = 0 rArr a = 1, b = 1 #

Antwoord:

D. Er is precies één oplossingspaar # (a, b) = (1, 1) #

Uitleg:

Gegeven:

# (1 + a + b) ^ 2 = 3 (1 + a ^ 2 + b ^ 2) #

Merk op dat we dit een mooi symmetrisch homogeen probleem kunnen maken door te generaliseren naar:

# (a + b + c) ^ 2 = 3 (a ^ 2 + b ^ 2 + c ^ 2) #

stel dan in # C = 1 # aan het einde.

Uitbreiding van beide zijden van dit algemene probleem, we hebben:

# a ^ 2 + b ^ 2 + c ^ 2 + 2ab + 2bc + 2ca = 3a ^ 2 + 3b ^ 2 + 3c ^ 2 #

Door de linkerkant van beide kanten af te trekken, krijgen we:

# 0 = 2a ^ 2 + 2b ^ 2 + 2c ^ 2-2ab-2bc-2ca #

#color (white) (0) = a ^ 2-2ab + b ^ 2 + b ^ 2-2bc + c ^ 2 + c ^ 2-2ca + a ^ 2 #

#color (wit) (0) = (a-b) ^ 2 + (b-c) ^ 2 + (c-a) ^ 2 #

Voor echte waarden van #een#, # B # en # C #, dit kan alleen behouden als alle # (A-b) #, # (B-c) # en # (C-a) # zijn nul en dus:

#a = b = c #

Dan zetten # C = 1 # we vinden de enige oplossing voor het oorspronkelijke probleem, namelijk # (a, b) = (1, 1) #