Vereenvoudig volledig: 1 - 2sin ^ 2 20 °?

Herhaal dat

#cos (2x) = 1 - 2sin ^ 2x #

Dus

#cos (40) = 1 - 2sin ^ 2 (20) #

Daarom is onze uitdrukking equivalent aan #cos (40) #.

Hopelijk helpt dit!

Antwoord:

# 1 - 2 sin ^ 2 20 ^ circ = cos 40 ^ circ #

Uitleg:

"Volledig" is een fuzzy doel in trig, zoals we zullen zien.

Ten eerste is het punt van dit probleem om de sinusvorm van de cosinus-dubbelhoekformule te herkennen:

#cos (2 theta) = cos (theta + theta) = cos theta cos theta - sin theta sin theta ## = cos ^ 2 theta - sin ^ 2 theta = (1- sin ^ 2 theta) - sin ^ 2 theta #

#cos (2 theta) = 1 - 2 sin ^ 2 theta #

Dit schrijft voor # Theta = 20 ^ circ #, #cos (2 (20 ^ circ)) = 1 - 2 sin ^ 2 20 ^ circ #

#cos 40 ^ circ = 1 - 2 sin ^ 2 20 ^ circ #

Vermoedelijk #cos 40 ^ circ # is het resultaat "volledig vereenvoudigd".

Dat is het antwoord. Monzur suggereert dat ik een waarschuwing geef voor het volgende deel. Het is volledig optioneel; blijf lezen als je meer wilt weten over #cos 40 ^ circ # en stop met lezen als je dat niet doet.

#cos 40 ^ circ # is volledig vereenvoudigd, want er is niet echt een betere uitdrukking die we kunnen opschrijven dan #cos 40 ^ circ #. # 40 ^ circ # is niet te construeren met een richtliniaal en een kompas. Dat betekent dat de trig-functies niet het resultaat zijn van gehele getallen, gecomponeerd door optellen, aftrekken, vermenigvuldigen en delen en vierkantswortels.

#cos 40 ^ circ # is eigenlijk de wortel van een polynomiale vergelijking met integer-coëfficiënten. # Theta = 40 ^ circ # voldoet aan de vergelijking #cos (44 theta) = - cos (46 theta) #. Als #x = cos theta, # dat is #T_ {44} (x) = -T_ {46} (x), # waar de # T #s zijn de Chebysjev polynomen van de eerste soort. In plaats van de formules voor twee- en drievoudige hoeken zijn dit de 44-voudige en 46-voudige hoekformules.

Zo #cos (40 ^ circ) # is een van de zesenveertig wortels van:

# 8796093022208 x ^ 44 - 96757023244288 x ^ 42 + 495879744126976 x ^ 40 - 1572301627719680 x ^ 38 + 3454150138396672 x ^ 36 - 5579780992794624 x ^ 34 + 6864598984556544 x ^ 32 - 6573052309536768 x ^ 30 + 4964023879598080 x ^ 28 - 2978414327758848 x ^ 26 + 1423506847825920 x ^ 24 - 541167892561920 x ^ 22 + 162773155184640 x ^ 20 - 38370843033600 x ^ 18 + 6988974981120 x ^ 16 - 963996549120 x ^ 14 + 97905899520 x ^ 12 - 7038986240 x ^ 10 + 338412800 x ^ 8 - 9974272 x ^ 6 + 155848 x ^ 4 - 968 x ^ 2 + 1 = - (35184372088832 x ^ 46 - 404620279021568 x ^ 44 + 2174833999740928 x ^ 42 - 7257876254949376 x ^ 40 + 16848641306132480 x ^ 38 - 28889255702953984 x ^ 36 + 37917148110127104 x ^ 34 - 38958828003262464 x ^ 32 + 31782201792135168 x ^ 30 - 20758645314682880 x ^ 28 + 10898288790208512 x ^ 26 - 4599927086776320 x ^ 24 + 1555857691115520 x ^ 22 - 418884762992640 x ^ 20 + 88826010009600 x ^ 18 - 14613311324160 x ^ 16 + 1826663915520 x ^ 14 - 168586629120 x ^ 12 + 11038410240 x ^ 10 - 484140800 x ^ 8 + 13034560 x ^ 6 - 186208 x ^ 4 + 1058 x ^ 2 - 1) #

Dat is helemaal niet eenvoudig.