Hoe op te lossen voor intexcosxdx?

Antwoord:

#int e ^ x cos (x) "d" x = 1 / 2e ^ x (sin (x) + cos (x)) + C #

Uitleg:

# I = int e ^ x cos (x) "d" x #

We zullen integratie door delen gebruiken, waarin staat dat #int u "d" v = uv-int v "d" u #.

Gebruik integratie door delen, met # U = e ^ x #, # du = e ^ x "d" x #, # "d" v = cos (x) "d" x #, en # V = sin (x) #:

# I = e ^ xsin (x) -int e ^ xsin (x) "d" x #

Gebruik integratie door delen opnieuw naar de tweede integraal, met # U = e ^ x #, # "d" u = e ^ x "d" x #, # "d" v = sin (x) "d" x #, en # V = -cos (x) #:

# I = e ^ xsin (x) + e ^ xcos (x) -int e ^ xcos (x) "d" x #

Nu herinneren dat we gedefinieerd zijn # I = int e ^ x cos (x) "d" x #. De bovenstaande vergelijking wordt dus het volgende (onthouden om een constante van integratie toe te voegen):

# I = e ^ x sin (x) + e ^ x cos (x) + I + C #

# 2I = e ^ x sin (x) + e ^ x cos (x) + C = e ^ x (sin (x) + cos (x)) + C #

# I = 1 / 2e ^ x (sin (x) + cos (x)) + C #

Antwoord:

Zie hieronder.

Uitleg:

De identiteit van de Moivre gebruiken

# e ^ (ix) = cos x + i sin x # wij hebben

#int e ^ x cos x dx = "Re" int e ^ x (cos x + i sin x) dx = "Re" int e ^ (x + ix) dx #

maar #int e ^ ((1 + i) x) dx = 1 / (1 + i) e ^ ((1 + i) x) = (1-i) / 2 e ^ x e ^ (ix) = #

# = (1-i) / 2e ^ x (cos x + isinx) = 1 / 2e ^ x (cosx + sinx) + i1 / 2e ^ x (sinx -cosx) #

en tenslotte

#int e ^ x cos x dx = 1 / 2e ^ x (cosx + sinx) + C #