Hoe op te lossen met integratie?

Antwoord:

# Q = (15 / 2,0) #

# P = (3,9) #

# "Area" = 117/4 #

Uitleg:

Q is het X-snijpunt van de lijn # 2x + y = 15 #

Om dit punt te vinden, laat # Y = 0 #

# 2x = 15 #

# X = 15/2 #

Zo # Q = (15 / 2,0) #

P is een punt van onderscheppen tussen de curve en de lijn.

# y = x ^ 2 "" (1) #

# 2x + y = 15 "" (2) #

Sub #(1)# in #(2)#

# 2x + x ^ 2 = 15 #

# X ^ 2 + 2x-15 = 0 #

# (X + 5) (x-3) = 0 #

# X = -5 # of # X = 3 #

Uit de grafiek is de x-coördinaat van P positief, dus we kunnen afwijzen # X = -5 #

# X = 3 #

# Y = x ^ 2 #

#=3^2#

#=9#

#:. P = (3,9) #

grafiek {(2x + y-15) (x ^ 2-y) = 0 -17.06, 18.99, -1.69, 16.33}

Nu voor het gebied

Om het totale gebied van deze regio te vinden, kunnen we twee gebieden vinden en ze samen toevoegen.

Dit zal het gebied onder zijn # Y = x ^ 2 # van 0 tot 3, en het gebied onder de lijn van 3 tot 15/2.

# "Gebied onder curve" = int_0 ^ 3 x ^ 2dx #

# = 1 / 3x ^ 3 _0 ^ 3 #

# = 1 / 3xx3 ^ 3-0 #

#=9#

We kunnen het gebied van de lijn uitwerken door integratie, maar het is gemakkelijker om het te behandelen als een driehoek.

# "Gebied onder regel" = 1 / 2xx9xx (15 / 2-3) #

# = 1 / 2xx9xx9 / 2 #

#=81/4#

#:. "totale oppervlakte gearceerd gebied" = 81/4 + 9 #

#=117/4#

Antwoord:

Voor 3 & 4

Tom is klaar met 10

Uitleg:

3

# int_0 ^ 5 f (x) dx = (int_0 ^ 1 + int_1 ^ 5) f (x) dx #

#:. int_1 ^ 5 f (x) dx = (int_0 ^ 5 - int_0 ^ 1) f (x) dx #

#= 1- (-2) = 3#

4

#int _ (- 2) ^ 3 f (x) dx = (int _ (- 2) ^ 1 + int_1 ^ 3) f (x) dx #

#:. int_ (3) ^ (- 2) f (x) dx = -int _ (- 2) ^ 3 f (x) dx #

# = - (int _ (- 2) ^ 1 + int_1 ^ 3) f (x) dx #

#= - (2 - 6) = 4#

Antwoord:

Zie hieronder:

Waarschuwing: lang antwoord!

Uitleg:

Voor 3):

De eigenschap gebruiken:

# int_a ^ b f (x) dx = int_a ^ c f (x) dx + int_c ^ b f (x) dx #

Vandaar:

# int_0 ^ 5 f (x) dx = int_0 ^ 1 f (x) dx + int_1 ^ 5 f (x) dx #

# 1 = -2 + x #

# x = 3 = int_1 ^ 5 f (x) dx #

Voor 4):

(hetzelfde)

# int_a ^ b f (x) dx = int_a ^ c f (x) dx + int_c ^ b f (x) dx #

# int_-2 ^ 3 f (x) dx = int_-2 ^ 1 f (x) dx + int_1 ^ 3 f (x) dx #

# X = 2 + (- 6) #

# x = -4 = int_-2 ^ 3 f (x) dx #

We moeten echter de limieten op de integraal vervangen, dus:

# int_3 ^ -2 f (x) dx = -int_-2 ^ 3 f (x) dx #

Zo:# int_3 ^ -2 f (x) dx = - (- 4) = 4 #

Voor 10 (a):

We hebben twee functies die elkaar kruisen # P #, dus bij # P #:

# X ^ 2 = -2x + 15 #

(Ik heb de lijnfunctie omgezet in hellings-interceptievorm)

# x ^ 2 + 2x-15 = 0 #

# (X + 5) (x-3) = 0 #

Zo # X = 3 # zoals wij rechts van de # Y # as, dus #x> 0 #.

(invoeren # X = 3 # in een van de functies)

# Y = -2x + 15 #

# Y = 2 (3) + 15 #

# Y = 15-6 = 9 #

Dus de coördinaat van # P # is #(3,9)#

Voor # Q #, de lijn # Y = -2x + 15 # snijdt de # Y #- As, dus # Y = 0 #

# 0 = -2x + 15 #

# 2x = 15 #

# X = (15/2) = 7,5 #

Zo # Q # bevindt zich op #(7.5, 0)#

Voor 10 (b).

Ik zal twee integralen construeren om het gebied te vinden. Ik zal de integralen afzonderlijk oplossen.

Het gebied is:

# int_a ^ b f (x) dx = int_a ^ c f (x) dx + int_c ^ b f (x) dx #

# A = int_O ^ Q f (x) dx = int_O ^ P (x ^ 2) dx + int_P ^ Q (-2x + 15) dx #

(Los de eerste integraal op)

# int_O ^ P (x ^ 2) dx = int_0 ^ 3 (x ^ 2) dx = x ^ 3/3 #

(vervang de limieten in de geïntegreerde expressie, onthoud:

Bovenste ondergrens om de waarde van integraal te vinden)

# 3 ^ 3/3 -0 = 9 = int_O ^ P (x ^ 2) dx #

(los tweede integraal op)

# int_P ^ Q (-2x + 15) dx = int_3 ^ 7.5 (-2x + 15) dx = (- 2x ^ 2) / 2 + 15x = - x ^ 2 + 15x #

(vervangingslimieten: Upper-lower)

#-(15/2)^2+15(15/2)--3^2+15(3)#

#(-225/4)+(225/2)+9-45=(-225/4)+(450/4)+-36= (225/4)+(-144/4)=(81/4)#

# int_P ^ Q (-2x + 15) dx = (81/4) #

# int_O ^ Q f (x) dx = int_O ^ P (x ^ 2) dx + int_P ^ Q (-2x + 15) dx #

# A = int_O ^ Q f (x) dx = 9 + (81/4) #

# A = int_O ^ Q f (x) dx = 9 + (81/4) #

# A = (36/4) + (81/4) #

# A = (117/4) #