Vraag # dbd28

Antwoord:

Definieer de afstand tussen de grafiek en het punt als een functie en zoek het minimum.

Het punt is #(3.5,1.871)#

Uitleg:

Om te weten hoe dichtbij ze zijn, moet je de afstand weten. De Euclidische afstand is:

#sqrt (Ax ^ 2 + Ay ^ 2) #

waarbij Δx en Δy de verschillen zijn tussen de 2 punten. Om het dichtstbijzijnde punt te zijn, moet dat punt de minimale afstand hebben. Daarom hebben we ingesteld:

#f (x) = sqrt ((x-4) ^ 2 + (x ^ (1/2) -0) ^ 2) #

#f (x) = sqrt (x ^ 2-8x + 16 + (x ^ (1/2)) ^ 2) #

#f (x) = sqrt (x ^ 2-8x + 16 + x ^ (1/2 * 2)) #

#f (x) = sqrt (x ^ 2-8x + 16 + x) #

#f (x) = sqrt (x ^ 2-7x + 16) #

We moeten nu het minimum van deze functie vinden:

#f '(x) = 1 / (2 * sqrt (x ^ 2-7x + 16)) * (x ^ 2-7x + 16)' #

#f '(x) = (2x-7) / (2 * sqrt (x ^ 2-7x + 16)) #

De noemer is altijd positief als een vierkantswortelfunctie. De teller is positief als:

# 2x-7> 0 #

#x> 7/2 #

#x> 3,5 #

Dus de functie is positief wanneer #x> 3,5 #. Evenzo kan worden aangetoond dat het negatief is wanneer #x <3,5 # Daarom is er functie #f (x) # heeft een minimum van # X = 3,5 #, wat betekent dat de afstand het minst is # X = 3,5 # De y-coördinaat van # Y = x ^ (1/2) # is:

# Y = 3,5 ^ (1/2) = sqrt (3,5) = 1.871 #

Ten slotte is het punt waar de minste afstand van (4,0) wordt waargenomen, het volgende:

#(3.5,1.871)#