Hoe los ik deze vergelijking op?

Antwoord:

# "Zie uitleg" #

Uitleg:

# "Pas eerst de rationele roots-stelling toe om rationele wortels te vinden." #

# "We vinden" x = 1 "als rationele root." #

# "Dus" (x-1) "is een factor. We verdelen die factor:" #

# 3 x ^ 4 - 5 x ^ 3 + 2 = (x-1) (3x ^ 3-2x ^ 2-2x-2) #

# "We hebben een resterende kubieke vergelijking die geen rationele wortels heeft." #

# "We kunnen het oplossen met de vervanging van de Vieta-methode." #

# x ^ 3 - (2/3) x ^ 2 - (2/3) x - 2/3 = 0 #

# "Vervang" x = y + 2/9 ". Dan krijgen we" #

# y ^ 3 - (22/27) y - (610/729) = 0 #

# "Vervang" y = (sqrt (22) / 9) z ". Dan krijgen we" #

# z ^ 3 - 3 z - 5.91147441 = 0 #

# "Vervang" z = t + 1 / t ". Dan krijgen we" #

# t ^ 3 + 1 / t ^ 3 - 5.91147441 = 0 #

# "Vervangen" u = t ^ 3 ", levert de kwadratische vergelijking op:" #

# u ^ 2 - 5.91147441 u + 1 = 0 #

# "Een wortel van deze kwadratische vergelijking is u = 5.73717252." #

# "De variabelen substitueren, opbrengsten:" #

#t = root (3) (u) = 1.79019073 #

#z = 2.34879043. #

#y = 1.22408929. #

#x = 1.44631151. #

# "De andere wortels zijn complex:" #

# -0.38982242 pm 0.55586071 i. #

# "(Ze kunnen gevonden worden door ze te delen" (x-1.44631151)) #

Antwoord:

Het rationele echte nul is # X = 1 #.

Dan is er een irrationele echte nul:

# x_1 = 1/9 (2 + root (3) (305 + 27sqrt (113)) + root (3) (305-27sqrt (113))) #

en gerelateerde niet-reële complexe nullen.

Uitleg:

Gegeven:

# 3x ^ 4-5x ^ 3 + 2 = 0 #

Merk op dat de som van de coëfficiënten is #0#.

Dat is: #3-5+2 = 0#

Vandaar dat we dat kunnen afleiden # X = 1 # is een nul en # (X-1) # een factor:

# 0 = 3x ^ 4-5x ^ 3 + 2 #

#color (white) (0) = (x-1) (3x ^ 3-2x ^ 2-2x-2) #

De overblijvende kubus is iets gecompliceerder …

Gegeven:

#f (x) = 3x ^ 3-2x ^ 2-2x-2 #

Tschirnhaus-transformatie

Om de taak van het oplossen van het kubieke eenvoudiger te maken, maken we het kubieke eenvoudiger met behulp van een lineaire substitutie die bekend staat als een Tschirnhaus-transformatie.

# 0 = 243f (x) = 729x ^ ^ 3-486x 2-486x-486 #

# = (9x-2) ^ 3-66 (9x-2) -610 #

# = ^ T-3-66t 610 #

waar # T = (9x-2) #

Cardano's methode

We willen oplossen:

# T ^ 3-66t-610 = 0 #

Laat # T = u + v #.

Dan:

# U ^ 3 + v ^ 3 + 3 (uv-22) (u + v) = -610 0 #

Voeg de beperking toe # V = 22 / u # om het te elimineren # (U + v) # termijn en krijg:

# U ^ 3 + 10648 / u ^ 3-610 = 0 #

Vermenigvuldigen door met U ^ # 3 # en herschikken enigszins om te krijgen:

# (U ^ 3) ^ 2-610 (u ^ 3) + 10648 = 0 #

Gebruik de kwadratische formule om het volgende te vinden:

# U ^ 3 = (610 + -sqrt ((- 610) ^ 2-4 (1) (10648))) / (2 * 1) #

# = (610 + -sqrt (372100-42592)) / 2 #

# = (610 + -sqrt (329.508)) / 2 #

# = (610 + -54sqrt (113)) / 2 #

# = 305 + -27sqrt (113) #

Omdat dit echt is en de afleiding symmetrisch is # U # en # V #, we kunnen een van deze wortels gebruiken voor U ^ # 3 # en de andere voor # V ^ 3 # om echte root te vinden:

# T_1 = wortel (3) (305 + 27sqrt (113)) + wortel (3) (305-27sqrt (113)) #

en verwante complexe wortels:

# t_2 = omegawortel (3) (305 + 27sqrt (113)) + omega ^ 2 root (3) (305-27sqrt (113)) #

# t_3 = omega ^ 2 root (3) (305 + 27sqrt (113)) + omega root (3) (305-27sqrt (113)) #

waar # Omega = -1/2 + sqrt (3) / 2i # is de primitieve Complexe-kubushortel van #1#.

Nu # X = 1/9 (2 + t) #. Dus de wortels van onze oorspronkelijke kubieke zijn:

# x_1 = 1/9 (2 + root (3) (305 + 27sqrt (113)) + root (3) (305-27sqrt (113))) #

# x_2 = 1/9 (2 + omega-wortel (3) (305 + 27sqrt (113)) + omega ^ 2-wortel (3) (305-27sqrt (113))) #

# x_3 = 1/9 (2 + omega ^ 2 wortel (3) (305 + 27sqrt (113)) + omegawortel (3) (305-27sqrt (113))) #