Integreer lnx / 10 ^ x?

Antwoord:

vergissing

Uitleg:

#int (lnx) / 10 ^ xdx # kan ook worden geschreven als #int (lnx) XX10 ^ (- x) dx #.

Nu kunnen we de formule gebruiken voor de integraal van het product

# Intu * v * dx = u * v-int (v * du) #, waar # U = lnx #

Als zodanig hebben we # Du = (1 / x) dx # en laat # Dv = x ^ (- 10) dx # of # V = x ^ (- 9) / - 9 #

Vandaar, # Intu * v * dx = (- 09/01) lnx.x ^ (- 9) -Int (x ^ (- 9) / - 9) * dx / x #of

= # (- 09/01) lnx.x ^ (- 9) + (1/9) INTX ^ (- 10) * dx #

= # (- 09/01) lnx.x ^ (- 9) + (1/9) x ^ (- 9) / (- 9) + c #

= # (- 09/01) lnx.x ^ (- 9) - (1/81) x ^ (- 9) + c #

= # -1/81 (x ^ (- 9)) (9lnx + 1) + c #

Antwoord:

Verschijnt oneindige reeksen die integraal voor mij zijn.

Uitleg:

We kunnen de formule gebruiken voor een integraal product van twee functies #u (x) en v (x) #

# intucdotdv = ucdotv-int vcdotdu #

(regel kan eenvoudig worden afgeleid door de productregel van differentiatie te integreren)

Gegeven integraal #intln (x) // 10 ^ xcdotdx # kan worden geschreven als

#intln (x) XX10 ^ (- x) cdotdx #

Laat # u = ln (x) en dv = 10 ^ (- x) cdot dx #

vanaf de eerste aanname # du = 1 / x cdotdx #

van de tweede gelijkheid # v = int 10 ^ -x cdot dx = -1 / ln 10 10 ^ -x + C #

We krijgen #intln (x) xx10 ^ (- x) cdotdx = ln (x) cdot (-1 / ln 10 10 ^ -x + C) -int (-1 / ln 10 10 ^ -x + C) cdot 1 / xcdot dx #

Waar # C # is een constante van integratie.

# = ln (x) cdot (-1 / ln 10 10 ^ -x + C) + int1 / ln 10 10 ^ -xcdot 1 / xcdot dx-intCcdot 1 / xcdot dx #

# = ln (x) cdot (-1 / ln 10 10 ^ -x + C) + int1 / ln 10 10 ^ -xcdot 1 / xcdot dx-Ccdot ln | x | + C_2, #vereenvoudigen

# = ln (x) cdot (-1 / ln 10 10 ^ -x) + 1 / ln 10 int 10 ^ -xcdot 1 / xcdot dx + C_2 #

Het vermindert tot het vinden van de integraal van # intx ^ -1cdot 10 ^ -xcdot dx #

Opnieuw gebruikmakend van de bovenstaande integraal door delen formule

Laat # U = x ^ -1 # en # dv = 10 ^ (- x) cdot dx #

# du = -x ^ -2cdot dx # en we hebben er al de waarde voor # V #

# intx ^ -1cdot 10 ^ -xcdot dx = x ^ -1cdot (-1 / ln 10 10 ^ -x + C) -int (-1 / ln 10 10 ^ -x + C) cdot (-x ^ -2cdot dx) #

1. Inspectie onthult dat het blijkt te zijn #int 10 ^ -xcdot x ^ -2cdot dx # enzovoorts.
2. Functie #ln (x) # is alleen gedefinieerd voor #x> 0 #
3. De integraal lijkt oneindige serie-integraal te zijn.

Antwoord:

# (lny) (ln (ln_10 y)) - lny = (lny) (ln (ln_10 y) -1) #

Doe het dan in # 10 ^ x # voor # y #

# (ln 10 ^ x) (ln (ln_10 10 ^ x) -ln 10 ^ x #

Uitleg:

Laat # Y = 10 ^ x #

# LNY LN10 = ^ x #

# LNY = x * LN10 #

# x = lny / ln10 = ln_10y = log_10exxlog_e y #

#:. dx = log_10exx1 / yxxdy #

#int (ln (ln_10 y)) / yxxlog_10exx1 / yxxdy #

# = int (ln (ln_10 y)) / y ^ 2xxlog_10exxdy; u = ln (ln_10 y) = ln (1 / ln10 * lny), dv = 1 / y #

# du = 1 / (ln y / ln10) * 1 / (yln10) = (ln10 / lny) (1 / (yln10)) = 1 / (ylny) #

# V = LNY #

# uv-intvdu -> (ln (ln_10 y)) lny-intlny * 1 / (ylny) #

# (lny) (ln (ln_10 y)) - int1 / y #

# (lny) (ln (ln_10 y)) - lny = (lny) (ln_10 y-1) #

Doe het dan in # 10 ^ x # voor # y #

#ln 10 ^ x (ln (ln_10 10 ^ x) -ln 10 ^ x #

#BEWIJS:#

# d / dy ((lny) (ln (ln_10 y) -1)) #

# f = lny, g = ln (ln_10 y) -1) #

# f '= 1 / y, g' = (1 / ln_10y) (1 / (yln10)) #

# Fg '+ gf' #---> productregel

#lny * (1 / ln_10y) (1 / (yln10)) + (ln (ln_10y) -1) * 1 / y #

#lny (1 / (lny / ln10)) (1 / (yln10)) + (ln (ln_10y) -1) * 1 / y #

# lny (ln10 / lny) (1 / (yln10)) + (ln (ln_10y) -1) * 1 / y #

# 1 / y + (ln (ln_10 y) -1) / y #

# ((1 + ln (ln_10 y) -1)) / y #

# (Ln (ln_10y)) / y #

#ln (x) / x 10 ^ #---># ln_10 y = x # van boven