Hoe integreer je dit? dx (x²-x + 1) Ik zit vast aan dit onderdeel (afbeelding geüpload)

Antwoord:

# => (2sqrt3) / 3 tan ^ (- 1) ((2x-1) / sqrt3) + c #

Uitleg:

Doorgaan…

Laat # 3/4 u ^ 2 = (x-1/2) ^ 2 #

# => sqrt (3) / 2 u = x-1/2 #

# => sqrt (3) / 2 du = dx #

# => int 1 / (3 / 4u ^ 2 + 3/4) * sqrt (3) / 2 du #

# => sqrt3 / 2 int 1 / (3/4 (u ^ 2 + 1)) du #

# => (2sqrt3) / 3 int 1 / (u ^ 2 + 1) du #

Een antiderivatief gebruiken wat moet worden vastgelegd in het geheugen …

# => (2sqrt3) / 3 tan ^ (- 1) u + c #

# => u = (2x-1) / sqrt3 #

# => (2sqrt3) / 3 tan ^ (- 1) ((2x-1) / sqrt3) + c #

Dit is een lastige kleine integraal en de oplossing zal in eerste instantie niet vanzelfsprekend lijken. Omdat dit een fractie is, kunnen we proberen de partiële fractietechniek te gebruiken, maar een snelle analyse laat zien dat dit niet mogelijk is sinds # X ^ 2-x + 1 # is niet factorbaar.

We zullen proberen deze integraal in een vorm te krijgen die we daadwerkelijk kunnen integreren. Let op de overeenkomst tussen # Int1 / (x ^ 2-x + 1) dx # en # Int1 / (x ^ 2 + 1) dx #; we weten dat de laatste integraal evalueert naar # Arctanx + C #. We zullen daarom proberen te krijgen # X ^ 2-x + 1 # in de vorm #k (x-a) ^ 2 + 1 #en pas dan de # Arctanx # regel.

We moeten het vierkant vervolledigen # X ^ 2-x + 1 #:

# X ^ 2-x + 1 #

# = X ^ 2-x + 1/4 + 1-1 / 4 #

# = (X-1/2) ^ 2 + 3/4 #

# = (X-1/2) ^ 2 + (sqrt (3) / 2) ^ 2 #

# = (Sqrt (3) / 2) 2 ^ ((x-1/2) ^ 2 / (sqrt (3) / 2) ^ 2 + 1) #

# = (Sqrt (3) / 2) 2 ^ (((x-1/2) / (sqrt (3) / 2)) ^ 2 + 1) #

(erg rommelig, ik weet het)

Nu we het in onze gewenste vorm hebben, kunnen we als volgt verder gaan:

# Int1 / (x ^ 2-x + 1) dx = int1 / ((sqrt (3) / 2) ^ 2 (((x-1/2) / (sqrt (3) / 2)) ^ 2 + 1)) dx #

# = 4 / 3int1 / (((x-1/2) / (sqrt (3) / 2)) ^ 2 + 1) dx #

# = 4 / 3int1 / (((2x-1) / (sqrt (3))) ^ 2 + 1) dx #

# = 4/3 * (sqrt (3) / 2arctan ((2x-1) / sqrt (3))) + C #

# = (2arctan ((2x-1) / sqrt (3))) / sqrt (3) + C #