Wat zijn alle waarden voor k waarvoor int_2 ^ kx ^ 5dx = 0?

Antwoord:

Zie hieronder.

Uitleg:

# int_2 ^ kx ^ 5 dx = 1/6 (k ^ 6-2 ^ 6) #

en

# K ^ 6-2 ^ 6 = (k + 2 ^ 3 ^ 3) (k ^ 3-2 ^ 3) # maar

# k ^ 3 + 2 ^ 3 = (k +2) (k ^ 2-2k + 2 ^ 2) # en

# k ^ 3-2 ^ 3 = (k-2) (k ^ 2 + 2k + 2 ^ 2) # zo

# k ^ 6-2 ^ 6 = (k +2) (k ^ 2-2k + 2 ^ 2) (k-2) (k ^ 2 + 2k + 2 ^ 2) #

of

# {(K + 2 = 0), (k ^ 2 ^ 2-2k + 2 = 0), (k-2 = 0), (k ^ 2 + 2k + 2 ^ 2 = 0)} #

uiteindelijk

echte waarden #k = {-2,2} #

complexe waarden #k = {-1pm i sqrt3,1pm i sqrt3} #

Antwoord:

# k = + - 2 #

Uitleg:

Hebben we nodig:

# int_2 ^ k x ^ 5 dx = 0 #

Integratie we krijgen:

# x ^ 6/6 _2 ^ k = 0 #

#:. 1/6 kleur (wit) ("" / "") x ^ 6 _2 ^ k = 0 #

#:. 1/6 (k ^ 6-2 ^ 6) = 0 #

#:. (k ^ 3) ^ 2- (2 ^ 3) ^ 2 = 0 #

#:. k ^ 3 = + - 2 ^ 3 #

#:. k = + - 2 #,

In de veronderstelling dat #k in RR # (er zijn eigenlijk #6# wortels, #4# waarvan complex zijn)

Nu, afhankelijk van de context van het probleem, zou je dat kunnen betogen #k <2 # (d.w.z # K = -2 #) is ongeldig als #k> = 2 # om het interne 'goed' te maken en dus die oplossing uit te sluiten, maar zonder enige context is het redelijk om beide oplossingen op te nemen.

Merk ook op dat #k = + - 2 # kunnen worden getoond als oplossingen zonder daadwerkelijk enige integratie uit te voeren.

Ten eerste is een eigenschap van definitieve integralen dat:

# int_a ^ a f (x) = 0 #

zodat we onmiddellijk kunnen vaststellen # K = 2 # is een oplossing.

Ten tweede, # X ^ 5 # is een vreemd functie, en oneven functies voldoen aan:

# f (-x) = f (x) #

en hebben rotatiesymmetrie over de oorsprong. als zodanig, als #f (x) # is dan vreemd:

# int_ (a) ^ a f (x) = 0 #

zodat we onmiddellijk kunnen vaststellen # K = -2 # is een oplossing.

De integratie en daaropvolgende berekeningen bewijzen echter dat dit de enige oplossingen zijn!