Hoe los je de ongelijkheid op 1 / (x + 1)> 3 / (x-2)?

Antwoord:

#x <- 5/2 kleur (wit) (xx) # of #color (wit) (xx) -1 <x <2 #

Uitleg:

Merk allereerst op dat uw ongelijkheid alleen wordt gedefinieerd als uw noemers niet gelijk zijn aan nul:

# x + 1! = 0 <=> x! = -1 #

#x - 2! = 0 <=> x! = 2 #

Nu, uw volgende stap zou zijn om de fracties "weg te halen". Dit kan gedaan worden door beide zijden van de ongelijkheid te vermenigvuldigen met # X + 1 # en # X-2 #.

Je moet echter voorzichtig zijn, want als je een ongelijkheid vermenigvuldigt met een negatief getal, moet je het ongelijkheidsteken omdraaien.

=========================================

Laten we de verschillende gevallen bekijken:

zaak 1: #color (wit) (xxx) x> 2 #:

Beide #x + 1> 0 # en #x - 2> 0 # houden. Zo krijg je:

# x - 2> 3 (x + 1) #

#x - 2> 3x + 3 #

… bereken # -3x # en #+2# aan beide kanten…

# -2x> 5 #

… delen door #-2# aan beide kanten. Zoals #-2# is een negatief getal, je moet het ongelijkheidsteken omdraaien …

#x <- 5/2 #

Er is echter geen #X# dat voldoet aan beide voorwaarden #x> 2 # en #x <- 5/2 #. Er is dus geen oplossing in dit geval.

=========================================

case 2: #color (wit) (xxx) -1 <x <2 #:

Hier, #x + 1> 0 # maar #x - 2 <0 #. Dus, je moet een keer het ongelijkheidsteken omdraaien en je krijgt:

#color (wit) (i) x - 2 <3 (x + 1) #

#color (wit) (x) -2x <5 #

… delen door #-2# en keer het ongelijkheidsteken opnieuw om …

#color (wit) (xxx) x> -5 / 2 #

De ongelijkheid #x> -5 / 2 # is waar voor iedereen #X# in het interval # -1 <x <2 #. Dus in dit geval hebben we de oplossing # -1 <x <2 #.

=========================================

case 3: #color (wit) (xxx) x <-1 #:

Hier zijn beide noemers negatief. Dus als je de ongelijkheid met beide vermenigvuldigt, moet je het ongelijkheidsteken twee keer omdraaien en krijg je:

#x - 2> 3x + 3 #

#color (wit) (i) -2x> 5 #

#color (wit) (xxi) x <- 5/2 #

Als de voorwaarde #x <-5 / 2 # is beperkter dan de voorwaarde #x <-1 #, de oplossing voor deze zaak is #x <- 5/2 #.

=========================================

In totaal is de oplossing

#x <- 5/2 kleur (wit) (xx) # of #color (wit) (xx) -1 <x <2 #

of, als je een andere notatie prefereert,

#x in (- oo, -5/2) uu (-1, 2) #.

Antwoord:

# - oo, -5/2 uu -1, 2 #

Uitleg:

# 1 / (x + 1)> 3 / (x-2) #

laat everithing aan de linkerkant van de ongelijkheid door aftrekken # 3 / (x-2) #:

# 1 / (x + 1) 3 / (x-2)> 0 #

Nu moeten we alle onzuiverheden in dezelfde noemer plaatsen. Het deel met (x + 1) we vermenigvuldigen met # (X-2) / (x-2) # (dat is 1!) en vice versa:

# (X-2) / ((x + 1) (x-2)) - (3 (x + 1)) / ((x + 1) (x-2))> 0 #

We hebben eerder de truc gedaan, om alle ongelijkheid met dezelfde noemer te hebben:

# (- 2x-5) / ((x + 1) (x-2))> 0 #.

# (X + 1) (x-2) # komt overeen met een parabool die positieve waarden geeft in het ineterval # -oo, -1 uu 2, + oo # en negatieve waarden in het interval #-1, 2#. Vergeet niet dat x niet -1 of 2 kan zijn vanwege het geven van noemer nul.

In het eerste geval (noemer positief) kunnen we de inequatie vereenvoudigen in:

# -2x-5> 0 # en #x in -oo, -1 uu 2, + oo #

wat geeft:

#x <-5/2 # en #x in -oo, -1 uu 2, + oo #.

Het onderscheppen van intervallen hierboven geeft #x <-5/2 #.

In het tweede geval is de noemer negatief, dus voor het resultaat dat een positief getal oplevert, moet de teller negatief zijn:

# -2x-5 <0 # en # x in -1, 2 #

wat geeft

#x> -5/2 #. en # x in -1, 2 #

Het onderscheppen van intervallen geeft # x in -1, 2 #

Aansluiten bij de oplossingen van de twee cases die we krijgen:

# - oo, -5/2 uu -1, 2 #