De Functional Continued Fraction (FCF) van exponentiële klasse wordt gedefinieerd door a_ (cf) (x; b) = a ^ (x + b / (a ^ (x + b / a ^ (x + ...)))) , a> 0. Hoe kun je bewijzen dat e_ (cf) (0.1; 1) = 1.880789470, bijna?

Antwoord:

Zie uitleg …

Uitleg:

Laat #t = a_ (cf) (x; b) #

Dan:

#t = a_ (cf) (x; b) = a ^ (x + b / a ^ (x + b / a ^ (x + b / a ^ (x + …)))) = a ^ (x + b / (a_ (cf) (x; b))) = a ^ (x + b / t) #

Met andere woorden, # T # is een vast punt van de mapping:

#F_ (a, b, x) (t) = a ^ (x + b / t) #

Merk op dat alleen # T # een vast punt zijn van #F (t) # is niet voldoende om dat te bewijzen #t = a_ (cf) (x; b) #. Er kunnen onstabiele en stabiele vaste punten zijn.

Bijvoorbeeld, #2016^(1/2016)# is een vast punt van #x -> x ^ x #, maar is geen oplossing van # x ^ (x ^ (x ^ (x ^ …))) = 2016 # (Er is geen oplossing).

Laten we echter overwegen #a = e #, #x = 0.1 #, #b = 1.0 # en #t = 1.880789470 #

Dan:

#F_ (a, b, x) (t) = e ^ (0.1 + 1 / 1.880789470) #

# ~~ ^ e (0,1 +,5316916199) #

# = E ^,6316916199 #

# ~~ 1.880789471 ~~ t #

Dus deze waarde van # T # is heel dicht bij een vast punt van #F_ (a, b, x) #

Om te bewijzen dat het stabiel is, overweeg dan het derivaat in de buurt # T #.

# d / (ds) F_ (e, 1,0.1) (s) = d / (ds) e ^ (0.1 + 1 / s) = -1 / s ^ 2 e ^ (0.1 + 1 / s) #

Dus we vinden:

#F '_ (e, 1,0.1) (t) = -1 / t ^ 2 e ^ (0.1 + 1 / t) = -1 / t ^ 2 * t = -1 / t ~~ -0.5316916199 #

Omdat dit negatief is en van absolute waarde minder dan #1#, het vaste punt op # T # is stabiel.

Merk ook op dat voor elke niet-nul echte waarde van # S # wij hebben:

#F '_ (e, 1,0.1) (s) = -1 / s ^ 2 e ^ (0.1 + 1 / s) <0 #

Dat is #F_ (e, 1,0.1) (s) # is strikt monotoon afnemend.

Vandaar # T # is het unieke stabiele vaste punt.

Antwoord:

Contractief gedrag.

Uitleg:

Met #a = e # en #x = x_0 # de iteratie volgt als volgt

#y_ {k + 1} = e ^ {x_0 + b / y_k} # en ook

#y_k = e ^ {x_0 + b / y_ {k-1}} #

Laten we de voorwaarden voor een samentrekking in de iteratie-operator onderzoeken.

Beide zijden aftrekken

#y_ {k + 1} -y_k = e ^ {x_0} (e ^ {b / y_k} -e ^ {b / y_ {k-1}}) #

maar in de eerste benadering

# e ^ {b / y_k} = e ^ {b / y_ {k-1}} + d / (dy_ {k-1}) (e ^ (b / y_ {k-1})) (y_k-y_ {k-1}) + O ((y_ {k-1}) ^ 2) #

of

# e ^ {b / y_k} - e ^ {b / y_ {k-1}} approx -b (e ^ {b / y_ {k-1}}) / (y_ {k-1}) ^ 2 (y_k-y_ {k-1}) #

Om een samentrekking te krijgen die we nodig hebben

#abs (y_ {k + 1} -y_k) <abs (y_k-y_ {k-1}) #

Dit wordt bereikt als

#abs (e ^ {x_0} b (e ^ {b / y_ {k-1}}) / (y_ {k-1}) ^ 2) <1 #. aangenomen #b> 0 # en #k = 1 # wij hebben.

# x_0 + b / y_0 <2 log_e (y_0 / b) #

Zo gegeven # X_0 # en # B # deze relatie stelt ons in staat om de eerste iteratie onder contractief gedrag te vinden.