Wat is een Hilbert-ruimte? + Voorbeeld

Hilbertruimte is een verzameling elementen met bepaalde eigenschappen, namelijk:

het is een vectorruimte (dus, er zijn bewerkingen op de elementen die typisch zijn voor vectoren, zoals vermenigvuldiging met een reëel getal en toevoeging die voldoen aan commutatieve en associatieve wetten);

er is een scalair (soms innerlijk of puntig) product tussen twee elementen dat resulteert in een reëel getal.

Onze driedimensionale Euclidische ruimte is bijvoorbeeld een voorbeeld van een Hilbert-ruimte met scalair product van # X = (x_1, x_2, x_3) # en # Y = (y_1, y_2, y_3) # gelijk aan # (X, y) = x_1 * y_1 + x_2 * y_2 + x_3 * y_3 #.

Een interessanter voorbeeld is een ruimte met alle doorlopende functies in een segment # A, b # met een scalair product gedefinieerd als

# (f, g) = int_a ^ b f (x) * g (x) dx #

In de kwantumfysica speelt de Hilbert-ruimte een zeer belangrijke rol als functie die de toestand van een systeem beschrijft # Psi # is een element uit een Hilbert-ruimte.

Ik kan aanbevelen

http://www.phy.ohiou.edu/~elster/lectures/qm1_1p2.pdf

als een introductie tot het gebruik van Hilbert-ruimte in de kwantumfysica.