Wat zijn de extrema- en zadelpunten van f (x, y) = x ^ 2y-y ^ 2x?

Antwoord:

Zadelpunt bij de oorsprong.

Uitleg:

Wij hebben:

# f (x, y) = x ^ 2y -y ^ 2x #

En dus leiden we de partiële afgeleiden af. Onthoud bij het gedeeltelijk differentiëren dat we de variabele in kwestie differentiëren terwijl de andere variabelen als constant worden behandeld. En dus:

# (gedeeltelijke f) / (gedeeltelijke x) = 2xy-y ^ 2 # en # (gedeeltelijke f) / (gedeeltelijke y) = x ^ 2-2yx #

Op een extrema of zadelpunten hebben we:

# (gedeeltelijke f) / (gedeeltelijke x) = 0 # en # (gedeeltelijke f) / (gedeeltelijke y) = 0 # tegelijkertijd:

d.w.z. een simultane oplossing van:

# 2xy-y ^ 2 = 0 => y (2x-y) = 0 => y = 0, x = 1 / 2y #

# x ^ 2-2yx = 0 => x (x-2y) = 0 => x = 0, x = 1 / 2y #

Daarom is er slechts één kritiek punt bij de oorsprong #(0,0)#. Om de aard van het kritieke punt vast te stellen, zijn analisten van de multi-variabele Taylor-serie vereist en de volgende testresultaten:

# Delta = (deel ^ 2 f) / (deel x ^ 2) (deel ^ 2 f) / (deel y ^ 2) - {(deel ^ 2 f) / (deel x deel y)} ^ 2 <0 => # zadelpunt

Dus we berekenen de tweede deelderivaten:

# (gedeeltelijke ^ 2f) / (gedeeltelijke x ^ 2) = 2y #;# (gedeeltelijke ^ 2f) / (gedeeltelijke y ^ 2) = -2x # en # (gedeeltelijke ^ 2 f) / (gedeeltelijke x gedeeltelijke y) = 2x-2y #

En zo wanneer # x = 0, y = 0 # we krijgen:

# Delta = (0) (0) - {0-0} ^ 2 = 0 #

Dat betekent dat de standaard zadeltest inclusief is en dat verdere analyse vereist is. (Dit zou meestal inhouden dat naar de tekenen van de functie in verschillende segmenten wordt gekeken, of naar de derde deelderivatietest die buiten het bestek van deze vraag valt!).

We kunnen ook naar de 3D-plot kijken en een snelle conclusie trekken dat het kritieke punt lijkt overeen te komen met een zadelpunt: