Hoe r = 7 / (5-5costheta) in rechthoekige vorm te converteren?

Antwoord:

Dat is de zijwaartse parabool # 70 x = 25 y ^ 2 - 49. #

Uitleg:

Deze is interessant omdat hij gewoon afwijkt; het minimum van de noemer is nul. Het is een kegelsnede; het net divergeren vind ik het een parabool. Dat doet er niet veel toe, maar het vertelt ons wel dat we een mooie algebraïsche vorm kunnen krijgen zonder trig functies of vierkantswortels.

De beste aanpak is nogal achterlijk; we gebruiken de polaire tot rechthoekige substituties wanneer het lijkt dat de andere manier directer zou zijn.

#x = r cos theta #

#y = r sin theta #

Zo # x ^ 2 + y ^ 2 = r ^ 2 (cos ^ 2 theta + sin ^ 2 theta) = r ^ 2 #

# r = 7 / {5 - 5 cos theta} #

Wij zien #R> 0 # We beginnen met het opruimen van de breuk.

# 5 r - 5 r cos theta = 7 #

We hebben een #r cos theta # Dus dat is #X.#

# 5 r - 5 x = 7 #

# 5r = 5 x + 7 #

Onze eerste waarneming was #r> 0 # dus squaring is OK.

# 25 r ^ 2 = (5x + 7) ^ 2 #

Nu vervangen we opnieuw.

# 25 (x ^ 2 + y ^ 2) = (5x + 7) ^ 2 #

Technisch gezien hebben we de vraag op dit punt beantwoord en kunnen we hier stoppen. Maar er is nog steeds een algebra te doen en hopelijk een beloning op het einde: misschien kunnen we laten zien dat dit eigenlijk een parabool is.

# 25 x ^ 2 + 25 y ^ 2 = 25x ^ 2 + 70 x + 49 #

# 25 y ^ 2 - 49 = 70 x #

# x = 1/70 (25 y ^ 2 - 49) = 1/70 (5y-7) (5y + 7) #

grafiek {x = 1/70 (25 y ^ 2 - 49) -17.35, 50, -30, 30

Ja, dat is een parabool, geroteerd # 90 ^ circ #van de gebruikelijke oriëntatie.

Controle: Alpha eyball