Wat is de vergelijking van de raaklijn van f (x) = (x-3) / (x-4) ^ 2 bij x = 5?

De vergelijking van de raaklijn is van de vorm:

# Y = kleur (oranje) (a) x + kleur (violet) (b) #

waar #een# is de helling van deze rechte lijn.

Om de helling van deze raaklijn te vinden #f (x) # op het punt # X = 5 # we zouden moeten differentiëren #f (x) #

#f (x) # is een quotiëntfunctie van het formulier # (U (x)) / (v (x)) #

waar #u (x) = x-3 # en #V (x) = (x-4) ^ 2 #

#color (blauw) (f '(x) = (u' (x) v (x) -v '(x) u (x)) / (v (x)) ^ 2) #

#u '(x) = X'-3'#

#color (rood) (u '(x) = 1) #

#V (x) # is een samengestelde functie, dus we moeten een kettingregel toepassen

laat #G (x) = x ^ 2 # en #h (x) = x-4 #

#V (x) = g (h (x)) #

#color (rood) (v '(x) = g (h (x)) * h (x)) #

#G '(x) = 2x # dan

#g '(h (x)) = 2 (h (x)) = 2 (x-4) #

#h '(x) = 1 #

#color (rood) (v '(x) = g (h (x)) * h (x)) #

#color (rood) (v '(x) = 2 (x-4) #

#color (blauw) (f '(x) = (u' (x) v (x) -v '(x) u (x)) / (v (x)) ^ 2) #

#f '(x) = (1 * (x-4) 2-2 ^ (x-4) (x-3)) / ((x-4) ^ 2) ^ 2 #

#f '(x) = ((x-4) 2-2 ^ (x-4) (x-3)) / (x-4) ^ 2 #

#f '(x) = ((x-4) (x-4-2 (x-3))) / (x-4) ^ 4 #

#f '(x) = ((x-4) (x-4-2x + 6)) / (x-4) ^ 4 #

#f '(x) = ((x-4) (- x + 2)) / (x-4) ^ 4 #

vereenvoudiging van de gemeenschappelijke factor # X-4 # tussen teller en noemer

#color (blauw) (f '(x) = (- x + 2) / (x-4) ^ 3) #

Omdat de raaklijn het punt passeert # X = 5 # dus we kunnen de waarde van helling vinden #een# door te substitueren # X = 5 # in # f '(x) #

#color (oranje) (a = f '(5)) #

= #A (- 5 + 2) / (5-4) ^ 3 #

# A = -3/1 ^ 3 #

#color (oranje) (a = -3) #

Gezien de abscis van raakpunt #color (bruin) (x = 5) # laten we

laat de ordinaat vinden # Y = f (5) #

#color (bruin) (y = f (5)) = (3/5) / (5-4) ^ 4 #

# Y = 2/1 #

#color (bruin) (y = 2) #

De coördinaten van het raakpunt hebben #color (bruin) ((5, 2)) # en de helling #color (oranje) (a = -3) # laten we vinden #color (violet) (b) #

laat alle bekende waarden vervangen door de vergelijking van de raaklijn om waarde te vinden #color (violet) (b) #

#color (bruin) (y) = kleur (oranje) (a) Kleur (bruin) (x) + kleur (violet) (b) #

# 2 = -3 (5) + kleuren (violet) (b) #

# 2 = -15 + kleur (violet (b) #

# 17 = kleur (violet) (b) #

daarom is de vergelijking van de raaklijn op het punt #color (bruin) ((5, 2)) # is:

# Y = -3x + 17 #