De wortels {x_i}, i = 1,2,3, ..., 6 van x ^ 6 + ax ^ 3 + b = 0 zijn zodanig dat elke x_i = 1. Hoe bewijs je dat, als b ^ 2-a ^ 2> = 1, a ^ 2-3 <= b ^ 2 <= a ^ 2 + 5 ?. Anders, b ^ 2-5 <= a ^ 2 <= b ^ 2 + 3?

$De wortels {x_i}, i = 1,2,3, ..., 6 van x ^ 6 + ax ^ 3 + b = 0 zijn zodanig dat elke x_i = 1. Hoe bewijs je dat, als b ^ 2-a ^ 2> = 1, a ^ 2-3 <= b ^ 2 <= a ^ 2 + 5 ?. Anders, b ^ 2-5 <= a ^ 2 <= b ^ 2 + 3?$

Antwoord:

In plaats daarvan is het antwoord # {(a, b)} = {(+ - 2, 1) (0, + -1)} # en de bijbehorende vergelijkingen zijn # (x ^ 3 + -1) ^ 2 = 0 en x ^ 6 + -1 = 0. #.

Uitleg:

Het goede antwoord van Cesereo R stelde me in staat om te wijzigen

mijn eerdere versie, om mijn antwoord goed te maken.

Het formulier # x = r e ^ (i theta) # kan zowel reëel als complex zijn

wortels. In het geval van echte wortels x, r = | x |., Overeengekomen! Laten we doorgaan.

In deze vorm, met r = 1, splitst de vergelijking zich in twee vergelijkingen, #cos 6theta + a cos 3theta + b = 0 # …(1)

# sin 6 theta + a sin 3 theta = 0 #… (2)

Om op uw gemak te zijn, kiest u eerst (3) en gebruikt u #sin 6theta = 2 sin 3theta cos 3theta #. Het geeft

#sin 3theta (2 cos 3theta + a) = 0 #, met oplossingen

#sin 3theta = 0 tot theta = k / 3pi, k = 0, + -1, + -2, + -3, … # …(3)

# cos 3theta = -a / 2 tot theta = (1/3) (2kpi + -cos ^ (- 1) (- a / 2)) #, met k zoals eerder. … (4)

Hier, # | cos 3theta | = | -a / 2 | <= 1 tot a in -2, 2 # … (5)

(3) reduceert (1) tot

# 1 + -a + b = 0 # … (6)

Gebruik makend van #cos 6theta = 2 cos ^ 2 3theta-1 #, (4) reduceert (1) tot

# 2 (-a / 2) ^ 2-1-a ^ 2/2 + b = 0 tot b = 1 #… (7)

Nu, vanaf (6), # a = + -2 #

Dus, (a, b) waarden zijn (+ -2, 1)..

De bijbehorende vergelijkingen zijn # (x ^ 3 + -1) ^ 2 = 0 en (x ^ 6 + 1) = 0 #

Toch komt dit niet helemaal overeen met Cesareo's set van waarden voor (a,). Ik denk dat ik mijn antwoord opnieuw moet beoordelen. (4) en (6) samen overwegen, bij het instellen van a = 0, b = - 1. Makkelijk om dat te verifiëren # (a, b) = (0, -1) #is een oplossing en de bijbehorende vergelijking is # X ^ 6-1 = 0 #, met twee echte wortels #+-1#. Hier, # 6 theta = (4k-1) pi en cos 6theta = -1 #en dus wordt (6) b = 1, wanneer a = 0 ook. Je hebt 100% gelijk, Cesareo. Dank je.

Het volledige antwoord is zoals ingevuld in het antwoordvak.

Opmerking: dit is nog een andere propositie. Ik zou echter willen herinneren en een verklaring afleggen over hoe ik de ongelijkheden in de huidige vraag zo vroeg mogelijk had gesteld.

Helaas was mijn krabbelen over deze kwestie naar de prullenbak gegaan. Als dit antwoord juist is, maar niet dat, ik #betreuren# voor het zelfde. Ik moet de vraag voor dit antwoord wijzigen. Ik denk snel maar typ niet, synchroon met denken. Bugs raken gemakkelijk ingebed in mijn gedachten.

Ik verwacht dat neurowetenschappers mijn uitleg zullen onderschrijven, voor de invoer van bugs in ons harde werk..

Antwoord:

Zie hieronder.

Uitleg:

Stel je dat voor # {a, b} in RR # wij hebben dat #b = pm1 #

omdat #b = Pix_i #. Nu maken #y = x ^ 3 # wij hebben

# Y ^ 2 + aypm1 = 0 # en oplossen voor # Y #

#y = - (a / 2) pmsqrt ((a / 2) ^ 2- (pm1)) # maar

# Absy = abs (- (a / 2) pmsqrt ((a / 2) ^ 2- (PM1))) = 1 #

Oplossen voor #een# wij hebben # A = {0, -2,2} #

De vergelijking # X ^ 6 ^ 3 + ax + b = 0 # komt overeen met een van de mogelijkheden

# X ^ 6 ^ 3 + a_0x + b_0 = 0 #

met

# A_0 = {- 2,0,2} #

# B_0 = {- 1,1} #