Wat is de limiet als x de oneindigheid van (ln (x)) ^ (1 / x) nadert?

Het is vrij eenvoudig. Je moet het feit gebruiken dat

#ln (x) = e ^ (ln (ln (x))) #

Dan weet je dat

#ln (x) ^ (1 / x) = e ^ (ln (ln (x)) / x) #

En dan gebeurt er een interessant deel dat op twee manieren kan worden opgelost - met behulp van intuïtie en met behulp van wiskunde.

Laten we beginnen met het intuïtiegedeelte.

#lim_ (n-> infty) e ^ (ln (ln (x)) / x = lim_ (n-> infty) e ^ (("iets kleiner dan x") / x) = e ^ 0 = 1 #

Laten we nadenken waarom is dat zo?

Dankzij de continuïteit van # E ^ x # functie kunnen we limiet verplaatsen:

#lim_ (n-> infty) e ^ (ln (ln (x)) / x = e ^ (lim_ (n-> infty) (ln (ln (x)) / x)) #

Om deze limiet te evalueren #lim_ (n> infty) (ln (ln (x)) / x) #, we kunnen de regel van het ziekenhuis gebruiken, waarin staat:

#lim_ (n-> infty) (f (x) / g (x)) = lim_ (n-> infty) ((f '(x)) / (g' (x))) #

Daarom krijgen we als we derivaten tellen:

#lim_ (n-> infty) (ln (ln (x)) / x) = lim_ (n-> infty) (1 / (xln (x))) #

Zoals derivaten zijn # 1 / (xln (x)) # voor nominator en #1# voor noemer.

Die limiet is eenvoudig te berekenen zoals het is # 1 / infty # soort limiet die nul is.

Daarom zie je dat

#lim_ (n-> infty) e ^ (ln (ln (x)) / x = e ^ (lim_ (n-> infty) (ln (ln (x)) / x)) = e ^ 0 = 1 #

En dat betekent dat #lim_ (n-> infty) ln (x) ^ 1 / x = 1 # ook.