Hoe los je 1 = cot ^ 2 x + csc x op?

Antwoord:

#X = (- 1) ^ k (-pi / 6) + KPI #

voor #k in ZZ #

Uitleg:

# Kinderbedje ^ 2x + 1 = cscx #

Gebruik de identiteit: # Cos ^ 2x + sin ^ 2x = 1 #

# => Kinderbed ^ 2x + 1 = csc ^ 2x #

# => Kinderbed ^ 2x = CSC ^ 2x-1 #

Vervang dit in de oorspronkelijke vergelijking, # Csc ^ 2x-1 + 1 = cscx #

# => CSC ^ 2x + cscx-2 = 0 #

Dit is een kwadratische vergelijking in de variabele # Cscx # Dus je kunt de kwadratische formule toepassen, #csx = (- 1 + -sqrt (1 + 8)) / 2 #

# => Cscx = (- 1 + -3) / 2 #

Geval #(1):#

#cscx = (- 1 + 3) / 2 = 1 #

Denk eraan dat: # Cscx = 1 / sinx #

# => 1 / sin (x) = 1 => sin (x) = 1 => x = pi / 2 #

Algemene oplossing (1): #X = (- 1) ^ n (pi / 2) + NPI #

We moeten deze waarden verwerpen (verwaarlozen) omdat het #kinderbed# functie is niet gedefinieerd voor veelvouden van # Pi / 2 # !

Geval #(2):#

#cscx = (- 03/01) / 2 = -2 #

# => 1 / sin (x) = - 2 => sin (x) = - 1/2 => x = pi / 6 #

Algemene oplossing (2): #X = (- 1) ^ k (-pi / 6) + KPI #

Antwoord:

Los wieg ^ 2 x + csc x = 1 op

ans: # (Pi) / 2; (7pi) / 6 en (11pi) / 6 #

Uitleg:

# cos ^ 2 x / sin ^ 2 x + 1 / sin x = 1 #

# cos ^ 2 x + sin x = sin ^ 2 x #

# (1 - sin ^ 2 x) + sin x = sin ^ 2 x #

# 2sin ^ 2 x - sin x - 1 = 0 -> 2t ^ 2 - t - 1 = 0 # - Noem sin x = t

Omdat a + b + c = 0, gebruik je een snelkoppeling: 2 echte roots zijn:

t = 1 en #t = -1 / 2 #

een. t = sin x = 1 -> #x = pi / 2 #

b. #sin x = - 1/2 # --> #x = (7pi) / 6 # en #x = (11pi) / 6 #