S = (a (r ^ n -1)) / (r-1) Maken van 'r' de onderwerpsformule ..?

Antwoord:

Dit is over het algemeen niet mogelijk …

Uitleg:

Gegeven:

#s = (a (r ^ n-1)) / (r-1) #

Idealiter willen we een formule afleiden zoals:

#r = "wat expressie in" s, n, a #

Dit zal niet mogelijk zijn voor alle waarden van # N #. Bijvoorbeeld wanneer # N = 1 # wij hebben:

#s = (a (r ^ kleur (blauw) (1) -1)) / (r-1) = a #

Dan # R # kan elke waarde apart aannemen #1#.

Merk ook op dat als # A = 0 # dan # S = 0 # en opnieuw # R # kan elke waarde apart aannemen #1#.

Laten we eens kijken hoe ver we kunnen komen in het algemeen:

Vermenigvuldig eerst beide zijden van de gegeven vergelijking met # (R-1) # te krijgen:

#s (r-1) = a (r ^ n-1) #

Door beide zijden te vermenigvuldigen, wordt dit:

# Sr-s = ar ^ r, -a #

Door de linkerzijde van beide kanten af te trekken, krijgen we:

# 0 = ar ^ n-sr + (s-a) #

Ervan uitgaande dat #a! = 0 #, we kunnen dit doorspitten #een# om de monic polynomial equation te krijgen:

# r ^ n-s / a r + (s / a-1) = 0 #

Merk op dat voor alle waarden van #zoals# en # N # één wortel van deze polynoom is # R = 1 #, maar dat is een uitgesloten waarde.

Laten we proberen er rekening mee te houden # (R-1) #…

# 0 = r ^ n-s / a r + (s / a-1) #

#color (white) (0) = r ^ n-1-s / a (r-1) #

#color (wit) (0) = (r-1) (r ^ (n-1) + r ^ (n-2) + … + 1-s / a) #

Dus delen door # (R-1) # we krijgen:

# r ^ (n-1) + r ^ (n-2) + … + 1-s / a = 0 #

De oplossingen hiervan zullen zeer verschillende vormen aannemen voor verschillende waarden van # N #. Tegen de tijd #n> = 6 #het is over het algemeen niet oplosbaar door radicalen.