Zonder het gebruik van de oplosfunctie van een rekenmachine, hoe los ik de vergelijking op: x ^ 4-5x ^ 3-x ^ 2 + 11x-30 = 0?

Antwoord:

De nullen zijn # X = 5 #, # X = -2 #, # X = 1 + -sqrt (2) i #

Uitleg:

#f (x) = x ^ 4-5x ^ 3-x ^ 2 + 11x-30 #

Dat wordt ons verteld # (X-5) # is een factor, dus los het op:

# x ^ 4-5x ^ 3-x ^ 2 + 11x-30 = (x-5) (x ^ 3-x + 6) #

Dat wordt ons verteld # (X + 2) # is ook een factor, dus scheid dat:

# x ^ 3-x + 6 = (x + 2) (x ^ 2-2x + 3) #

De discriminant van de resterende kwadratische factor is negatief, maar we kunnen de kwadratische formule nog steeds gebruiken om de complexe wortels te vinden:

# X ^ 2-2x + 3 # is in de vorm # Ax ^ 2 + bx + c # met # A = 1 #, # B = -2 # en # C = 3 #.

De wortels worden gegeven door de kwadratische formule:

#x = (-b + -sqrt (b ^ 2-4ac)) / (2a) #

# = (2 + -sqrt ((- 2) ^ 2- (4 * 1 * 3))) / (2 * 1) #

# = (2 + -sqrt (4-12)) / 2 #

# = (2 + -sqrt (-8)) / 2 #

# = (2 + -sqrt (8) i) / 2 #

# = (2 + -2sqrt (2) i) / 2 #

# = 1 + -sqrt (2) i #

Laten we het proberen zonder dat te weten # (X-5) # en # (X + 2) # zijn factoren.

De constante termijn is gelijk aan het wortelsproduct, dus

# 30 = r_1 * r_2 * r_3 * r_4 #.

Deze coëfficiënt is een geheel getal waarvan de factoren zijn # pm 1, pm 2, pm 5, pm3 # Als we die waarden proberen, kunnen we dat zien

#p (-2) = p (5) = 0 # verkrijgen van twee wortels.

We kunnen het polynoom als vertegenwoordigen

# x ^ 4 - 5 x ^ 3 - x ^ 2 + 11 x - 30 = (x-5) (x + 2) (x² + a x + b) #

Het berekenen van de rechterkant en het vergelijken van beide kanten krijgen we

# -5 = a3 #

# -1 = b-3a-10 #

# 11 = -10A-3b #

# -30 = -10b #

Oplossen voor # (A, b) # we krijgen # A = -2, b = 3 #

Het evalueren van de wortels van # X ^ 2-2x + 3 = 0 # we krijgen # 1 - i sqrt 2, 1 + i sqrt 2 #