Bewijs: 3cos ^ -1x = cos ^ -1 (4x ^ 3-3x)?

Bewijzen # 3cos ^ -1x = cos ^ -1 (4x ^ 3-3x) #

Laat # Cos ^ -1x = theta #

# => X = costheta #

Nu # LHS = 3theta #

# = Cos ^ -1cos (3theta) #

# = Cos ^ -1 (4cos ^ 3theta-3costheta) #

# = Cos ^ -1 (4x ^ 3-3x) #

Laten zien

# 3 arccos x = arccos (4x ^ 3 -3 x) #

Soms is trig minder om wiskunde te doen en meer om wiskunde te herkennen wanneer we het zien. Hier herkennen we # 4x ^ 3 -3x # als de cosinus drievoudige hoekformule, # cos (3 theta) # wanneer # x = cos theta #.

feitje: # 4x ^ 3-3x # wordt ook genoemd # T_3 (x) #, de derde Chebyshev polynoom van de eerste soort. In het algemeen, # cos (nx) = T_n (cos x). #

We nemen aan # Arccos # verwijst naar de hoofdwaarde. Ik bel liever de opdrachtgever #text {Arc} text {cos} # maar dat is moeilijker om te typen.

Genoeg achtergrond. Zodra we de drievoudige hoekformule hebben herkend, is het bewijs eenvoudig.

Bewijs:

Laat #theta = arccos x. #

# x = cos theta #

# cos 3 theta = 4 cos ^ 3 theta - 3 cos theta #

# cos 3 (arccos x) = 4x ^ 3 - 3 x #

# 3 arccos x = arccos (4x ^ 3 - 3x) quad sqrt #