Drie staven, elk met massa M en lengte L, worden samengevoegd om een gelijkzijdige driehoek te vormen. Wat is het traagheidsmoment van een systeem om een as die door zijn massamidden gaat en loodrecht staat op het vlak van de driehoek?

Antwoord:

# 1/2 ML ^ 2 #

Uitleg:

Het traagheidsmoment van een enkele staaf rond een as die door zijn middelpunt en loodrecht daarop gaat is

# 1/12 ML ^ 2 #

Dat van elke zijde van de gelijkzijdige driehoek om een as die door het midden van de driehoek en loodrecht op zijn vlak gaat

# 1 / 12ML ^ 2 + M (L / (2sqrt3)) ^ 2 = 1/6 ML ^ 2 #

(door de stelling van de parallelle as).

Het traagheidsmoment van de driehoek rond deze as is dan

# 3 keer 1/6 ML ^ 2 = 1/2 ML ^ 2 #

Aangenomen dat staven dun zijn, bevindt de positie van het massamiddelpunt van elke staaf zich in het midden van de staaf. Omdat de staven een gelijkzijdige driehoek vormen, bevindt het zwaartepunt van het systeem zich in het midden van de driehoek.

Laat # D # de afstand tot het zwaartepunt van een van de zijkanten.

# D / (L / 2) = tan30 #

# => D = L / 2tan30 #

# => D = L / (2sqrt3) # …..(1)

Het traagheidsmoment van een enkele staaf rond een as die door het centroïde loopt loodrecht op het vlak van de driehoek met behulp van de parallelle as

#I_ "rod" = I_ "cm" + Md ^ 2 #

Er zijn drie soortgelijk geplaatste staven, daarom zou het totale traagheidsmoment van drie staven zijn

#I_ "systeem" = 3 (I_ "cm" + Md ^ 2) #

# => I_ "systeem" = 3I_ "cm" + 3Md ^ 2 # …….(2)

Tweede termijn met (1) is

# 3Md ^ 2 = 3 M (L / (2sqrt3)) ^ 2 #

# => 3Md ^ 2 = 1 / 4ML ^ 2 # …..(3)

Als het traagheidsmoment van een staaf om zijn massamidden is

#I_ "cm" = 1 / 12ml ^ 2 #

De eerste termijn in (2) wordt

# 3I_ "cm" = 3xx1 / 12ml ^ 2 = 1 / 4ML ^ 2 # ….(4)

Met behulp van (3) en (4) wordt vergelijking (2)

#I_ "systeem" = 1 / 4ML ^ 2 + 1 / 4ML ^ 2 = 1 / 2ML ^ 2 kgm ^ 2 #