Hoe te integreren sqrt (x ^ 2 + 4x) dx?

Antwoord:

#int sqrt (x ^ 2 + 4x) dx = sinh (2cosh ^ -1 ((x + 2) / 2)) - 2cosh ^ -1 ((x + 2) / 2) + C #

Uitleg:

Omdat het gemakkelijker is om er maar één af te handelen #X# onder een vierkantswortel voltooien we het vierkant:

# X ^ 2 + 4 x = (x + 2) ^ 2 + k #

# X ^ 2 + 4 x = x ^ 2 + 4x + 4 + k #

# K = -4 #

# X ^ 2 + 4 x = (x + 2) ^ 2-4 #

#int sqrt (x ^ 2 + 4x) dx = int sqrt ((x + 2) ^ 2-4) dx #

Nu moeten we een trigonometrische substitutie doen. Ik ga hyperbolische trig-functies gebruiken (omdat een secant-integraal meestal niet erg mooi is). We willen de volgende identiteit gebruiken:

# Cosh ^ 2 (theta) -1 = sinh ^ 2 (theta) #

Om dit te doen, willen we # (X + 2) ^ 2 = 4cosh ^ 2 (theta) #. We kunnen oplossen voor #X# om te krijgen welke substitutie we nodig hebben:

# X + 2 = 2cosh (theta) #

# X = 2cosh (theta) -2 #

Integreren met betrekking tot # Theta #, we moeten vermenigvuldigen met de afgeleide van #X# rekeninghoudend met # Theta #:

# dx / (d theta) = 2sinh (theta) #

#int sqrt ((x + 2) ^ 2-4) dx = int sqrt ((2cosh (theta)) ^ 2-4) * 2sinh (theta) d theta = #

# = 2int sqrt (4cosh ^ 2 (theta) -4) * sinh (theta) d theta = 2int sqrt (4 (cosh ^ 2 (theta) -1)) * sinh (theta) d theta = #

# = 2 * sqrt (4) int sqrt (cosh ^ 2 (theta) -1) * sinh (theta) d theta = #

Nu kunnen we de identiteit gebruiken # Cosh ^ 2 (theta) -1 = sinh ^ 2 (theta) #:

# = 4int sqrt (sinh ^ 2 (theta)) * sinh (theta) d theta = 4int sinh ^ 2 (theta) d theta #

Nu gebruiken we de identiteit:

# Sinh ^ 2 (theta) = 1/2 (cosh (2 theta) -1) #

# 4 / 2int cosh (2theta) -1 d theta = int 2cosh (2theta) d theta-2theta = #

We kunnen een expliciete u-vervanging voor doen # 2cosh (2 theta) #, maar het is vrij duidelijk dat het antwoord is #sinh (2 theta) #:

# = Sinh (2 theta) -2theta + C #

Nu moeten we de vervanging ongedaan maken. We kunnen oplossen voor # Theta # te krijgen:

# Theta = cosh ^ -1 ((x + 2) / 2) #

Dit geeft:

#sinh (2cosh ^ -1 ((x + 2) / 2)) - 2cosh ^ -1 ((x + 2) / 2) + C #