Hoe zou u int_1 ^ e 1 / (x sqrt (ln ^ 2x)) dx integreren?

Antwoord:

Deze integraal bestaat niet.

Uitleg:

Sinds #ln x> 0 # in het interval # 1, e #, wij hebben

#sqrt {ln ^ 2 x} = | ln x | = ln x #

hier, zodat de integraal wordt

# int_1 ^ e dx / {x ln x} #

Plaatsvervanger #ln x = u #, dan # dx / x = du # zodat

# int_1 ^ e dx / {x ln x} = int_ {ln 1} ^ {ln e} {du} / u = int_0 ^ 1 {du} / u #

Dit is een onjuiste integraal, omdat de integrand bij de ondergrens divergeert. Dit is gedefinieerd als

#lim_ {l -> 0 ^ +} int_l ^ 1 {du} / u #

als dit bestaat. Nu

#int_l ^ 1 {du} / u = ln 1 - ln l = -ln l #

omdat dit in de limiet divergeert #l -> 0 ^ + #, de integraal bestaat niet.

Antwoord:

# Pi / 2 #

Uitleg:

De integraal # Int_1 ^ e ("d" x) / (xsqrt (1-ln ^ 2 (x)) #.

Eerst vervangen # U = ln (x) # en # "D" u = ("d" x) / x #.

Zo hebben we

#int_ (x = 1) ^ (x = e) ("d" u) / sqrt (1-u ^ 2) #

Vervanging # U = sin (v) # en # "D" u = cos (v) "d" v #.

Dan, #int_ (x = 1) ^ (x = e) (cos (v)) / (sqrt (1-sin ^ 2 (v))) "d" v = int_ (x = 1) ^ (x = e) "d" v # sinds # 1-sin ^ 2 (v) = cos ^ 2 (v) #.

We hebben het voortgezet

# V _ (x = 1) ^ (x = e) = arcsin (u) _ (x = 1) ^ (x = e) = arcsin (ln (x)) _ (x = 1) ^ (x = e) = arcsin (ln (e)) - arcsin (ln (1)) = pi / 2-0 = pi / 2 #