Wat is de antiderivate van 1 / (x ^ 2-2x + 2) ^ 2?

Antwoord:

# 1 / 2arctan (x-1) + (x-1) / (2 (x ^ 2-2x + 2)) + c #

Uitleg:

Dus hier hebben we de integraal:

#int 1 / (x ^ 2-2x + 2) ^ 2 dx #

En de vorm van kwadratische reciproke lijkt te suggereren dat trigonometrische substitutie hier zou werken. Dus voltooi eerst het vierkant om te krijgen:

# x ^ 2-2x + 2 = (x-1) ^ 2 + 1 #

Breng vervolgens de vervanging aan #u = x-1 # om de lineaire te verwijderen:

# (du) / dx = 1 #

#rArr du = dx #

We kunnen dus veilig variabelen veranderen zonder ongewenste bijwerkingen:

#int 1 / (x ^ 2-2x + 2) ^ 2 dx #

# = int 1 / ((x-1) ^ 2 +1) ^ 2 dx #

# - = int 1 / (u ^ 2 + 1) ^ 2 du #

Dit is nu de ideale vorm voor het uitvoeren van een trigonometrische substitutie; # u ^ 2 + 1 # suggereert de Pythagorische identiteit # 1 + tan ^ 2theta = sec ^ 2theta #, dus we passen de vervanging toe #u = tantheta # om de noemer te vereenvoudigen:

# (du) / (d theta) = sec ^ 2 theta #

#rArr du = sec ^ 2 theta d theta #

Dus de integraal wordt:

#int 1 / (sec ^ 2 theta) ^ 2 * sec ^ 2 theta d theta #

# = int 1 / (sec ^ 2 theta) d theta #

# - = int cos ^ 2 theta d theta #

Nu gebruiken we de double-angle-formule voor # Cos # om dit antiderivaat hanteerbaarder te maken:

#cos (2theta) = 2cos ^ 2 theta - 1 #

#hARr cos ^ 2 theta = 1/2 (cos (2 theta) + 1) #

Plaats dat dan in de integraal:

# 1/2 int cos (2 theta) + 1 d theta #

# = 1/2 (theta + 1/2 sin (2 theta)) + c # (en dit opnieuw te openen met de dubbele-hoekformule voor #zonde#)

# = 1/2 theta + 1 / 2sinthetacostheta + c #

Nu, # x-1 = u = tan theta #

#rArr theta = arctan (x-1) #

# 1 + (x-1) ^ 2 = sec ^ 2 theta #

#rArr cos theta = 1 / sqrt (x ^ 2 - 2x +2) #

#sin theta = tan theta * cos theta #

#rArr sin theta = (x-1) / (sqrt (x ^ 2 + 2x + 2) #

#:. sintheta * costheta = (x-1) / (x ^ 2-2x + 2) #

Eindelijk, ter zake komen:

#int 1 / (x ^ 2-2x + 2) ^ 2 dx #

# = 1 / 2arctan (x-1) + (x-1) / (2 (x ^ 2-2x + 2)) + c #

De lengte van de basis van een gelijkbenige driehoek is 4 inch minder dan de lengte van een van de twee gelijke zijden van de driehoeken. Als de omtrek 32 is, wat zijn de lengten van elk van de drie zijden van de driehoek?

De zijkanten zijn 8, 12 en 12. We kunnen beginnen door een vergelijking te maken die de informatie kan weergeven die we hebben. We weten dat de totale omtrek 32 inch is. We kunnen elke kant met haakjes voorstellen. Omdat we weten dat andere 2 zijden naast de basis gelijk zijn, kunnen we dat in ons voordeel gebruiken. Onze vergelijking ziet er als volgt uit: (x-4) + (x) + (x) = 32. We kunnen dit zeggen omdat de basis 4 minder is dan de andere twee zijden, x. Wanneer we deze vergelijking oplossen, krijgen we x = 12. Als we dit voor elke kant inpluggen, krijgen we 8, 12 en 12. Als dit wordt toegevoegd, komt dit uit op een omt

Het ontbijt van Tyrese kost $ 9. Een belasting van 4% wordt toegevoegd aan de factuur. Hij wil 15% van de kosten van het ontbijt als fooi geven. Wat zijn de totale kosten van het ontbijt van Tyrese met belasting en fooi? Als hij betaalt met een rekening van $ 20, wat zal dan zijn verandering zijn?

De totale kosten van het ontbijt van Tyrese inclusief belasting en fooi zijn $ 10,71. Zijn verandering van een rekening van $ 20 is $ 9,29. Zijn totale kosten zijn: De kosten van de maaltijd + belasting + fooi 1) Bepaal het bedrag van de belasting 4% van $ 9 wordt op deze manier berekend : 9 xx 0.04 Dat bedrag komt op $ 0,36. Controleer om te zien of dat redelijk is: 10% van $ 9 is gelijk aan 90 cent. Daarom moet 5% gelijk zijn aan 45 cent. Dus 4% moet iets minder zijn dan 45 cent. $ 0,36 is eigenlijk iets minder dan $ 0,45, dus het is waarschijnlijk goed. ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~

Wat is de vergelijking van de locus van punten op een afstand van sqrt (20) eenheden van (0,1)? Wat zijn de coördinaten van de punten op de lijn y = 1 / 2x + 1 op een afstand van sqrt (20) van (0, 1)?

Vergelijking: x ^ 2 + (y-1) ^ 2 = 20 Coördinaten van gespecificeerde punten: (4,3) en (-4, -1) Deel 1 De locus van punten op een afstand van sqrt (20) van (0 , 1) is de omtrek van een cirkel met radius sqrt (20) en midden op (x_c, y_c) = (0,1) De algemene vorm voor een cirkel met radiuskleur (groen) (r) en midden (kleur (rood) ) (x_c), kleur (blauw) (y_c)) is kleur (wit) ("XXX") (x-kleur (rood) (x_c)) ^ 2+ (y-kleur (blauw) (y_c)) ^ 2 = kleur (groen) (r) ^ 2 In dit geval kleur (wit) ("XXX") x ^ 2 + (y-1) ^ 2 = 20 ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~