We hebben een halve cilinder dak met straal r en hoogte r gemonteerd op de top van vier rechthoekige wanden van hoogte h. We hebben 200π m ^ 2 plastic folie om te gebruiken bij de constructie van deze structuur. Wat is de waarde van r die maximaal volume toestaat?

Antwoord:

# R = 20 / sqrt (3) = (20sqrt (3)) / 3 #

Uitleg:

Laat me de vraag herhalen zoals ik het begrijp.

Mits het oppervlak van dit object is # 200pi #, maximaliseer het volume.

Plan

Als we het oppervlak kennen, kunnen we een hoogte voorstellen # H # als een functie van radius # R #, dan kunnen we volume voorstellen als een functie van slechts één parameter - radius # R #.

Deze functie moet worden gemaximaliseerd met behulp van # R # als een parameter. Dat geeft de waarde van # R #.

Oppervlakte bevat:

4 wanden die een zijoppervlak van een parallellepipedum vormen met een omtrek van een basis # 6r # en hoogte # H #, die een totale oppervlakte van hebben # 6RH #.

1 dak, de helft van een zijkant van een cilinder met een straal # R # en hoogte # R #, dat heeft een gedeelte van #pi r ^ 2 #

2 zijden van het dak, halve cirkels met een straal # R #, het totale gebied is dat #pi r ^ 2 #.

Het resulterende totale oppervlak van een object is

#S = 6rh + 2pi r ^ 2 #

Wetende dat dit gelijk is aan # 200pi #, kunnen we uitdrukken # H # aangaande met # R #:

# 6RH + 2pir ^ 2 = 200pi #

# r = (100pi-pir ^ 2) / (3r) = (100pi) / (3r) - pi / 3r ##

Het volume van dit object bestaat uit twee delen: onder het dak en binnen het dak.

Onder het dak hebben we een parallellepipedum met het oppervlak van de basis # 2r ^ 2 # en hoogte # H #, dat is zijn volume

# V_1 = 2r ^ 2h = 200 / 3pir - 2 / 3pir ^ 3 #

Binnen het dak hebben we een halve cilinder met radius # R # en hoogte # R #, het volume is

# V_2 = 1 / 2pir ^ 3 #

We moeten de functie maximaliseren

#V (r) = V_1 + V_2 = 200 / 3pir - 2 / 3pir ^ 3 + 1 / 2pir ^ 3 = 200 / 3pir - 1 / 6pir ^ 3 #

dat ziet er als volgt uit (niet op schaal)

grafiek {2x-0.6x ^ 3 -5.12, 5.114, -2.56, 2.56}

Deze functie bereikt zijn maximum wanneer het afgeleide gelijk is aan nul voor een positief argument.

#V '(r) = 200 / 3pi - 1 / 2pi r ^ 2 #

In de buurt van #R> 0 # het is gelijk aan nul wanneer # R = 20 / sqrt (3) = 20sqrt (3) / 3 #.

Dat is de straal die het grootste volume geeft, gegeven het oppervlak en de vorm van een voorwerp.