Mars heeft een gemiddelde oppervlaktetemperatuur van ongeveer 200K. Pluto heeft een gemiddelde oppervlaktetemperatuur van ongeveer 40K. Welke planeet zendt meer energie per vierkante meter oppervlak per seconde uit? Met een factor van hoeveel?

Antwoord:

Mars zendt uit #625# keer meer energie per oppervlakte-eenheid dan Pluto.

Uitleg:

Het is duidelijk dat een heter object meer straling van het zwarte lichaam zal uitstralen. We weten dus al dat Mars meer energie zal uitstoten dan Pluto. De enige vraag is hoeveel.

Dit probleem vereist evaluatie van de energie van de zwarte lichaamstralen die door beide planeten worden uitgezonden. Deze energie wordt beschreven als een functie van de temperatuur en de frequentie die wordt uitgezonden:

#E (nu, T) = (2pi ^ 2 nu) / c (h nu) / (e ^ ((hnu) / (kT)) - 1) #

Integratie over frequentie geeft het totale vermogen per oppervlakte-eenheid als een functie van de temperatuur:

# int_0 ^ infty E (nu, T) = (pi ^ 2c (kT) ^ 4) / (60 (barhc) ^ 3) #

(merk op dat de bovenstaande vergelijking gebruikt # Barh #, de verminderde constante van Planck in plaats van # H #. Het is moeilijk om te lezen in de notatie van Socratic)

Het oplossen voor de verhouding tussen de twee, dan is het resultaat ongelooflijk eenvoudig. Als # T_p # is Pluto's temperatuur en # T_M # is de temperatuur van Mars dan de factor #een# kan worden berekend met:

# (Pi ^ 2c (kT_m) ^ 4) / (60 (barhc) ^ 3) = a (pi ^ 2c (kT_p) ^ 4) / (60 (barhc) ^ 3) #

#cancel (pi ^ 2ck ^ 4) / cancel (60 (barhc) ^ 3) T_m ^ 4 = acancel (pi ^ 2ck ^ 4) / cancel (60 (barhc) ^ 3) T_p ^ 4 #

# (T_m / T_p) ^ 4 = a = (200/40) ^ 4 = 5 ^ 4 = 625 # keer zoveel