Wat is de vierkantswortel van 543?

Antwoord:

#sqrt (543) ~~ 23.30236 #

Uitleg:

De belangrijkste factorisatie van #543# is:

#543 = 3 * 181#

Omdat het geen vierkante factoren groter dan heeft #1#, de vierkantswortel van #543# kan niet worden vereenvoudigd.

Het is een irrationeel getal tussen # 23 = sqrt (529) # en # 24 = sqrt 576 #.

Lineair interpolerend, kunnen we bij benadering:

#sqrt (543) ~~ 23+ (543-529) / (576-529) = 23 14/47 ~~ 23.3 #

Voor meer nauwkeurigheid, laat # p_0 / q_0 = 233/10 # en herhaal het gebruik van de formules:

# {(p_ (i + 1) = p_i ^ 2 + 543 q_i ^ 2), (q_ (i + 1) = 2p_iq_i):} #

Zo:

# {(p_1 = p_0 ^ 2 + 543 q_0 ^ 2 = 233 ^ 2 + 543 * 10 ^ 2 = 54289 + 54300 = 108589), (q_1 = 2 p_0 q_0 = 2 * 233 * 10 = 4660):} #

Alleen deze ene iteratie is voldoende om te krijgen #7# (bijna #8#) significante cijfers:

#sqrt (543) ~~ p_1 / q_1 = 108589/4660 ~~ 23.30236 #

Als we meer nauwkeurigheid willen, herhaal dan opnieuw.

Voetnoot

De exacte herhalende voortgezette breuk voor #sqrt (543) # is:

# 543 = 23; balk (3,3,3,1,14,1,3,3,3,46) #

van waaruit het mogelijk is om de oplossing van Pell's vergelijking te vinden:

#669337^2 = 543 * 28724^2 + 1#

wat maakt #sqrt (543) ~~ 669337/28724 # een zeer efficiënte benadering.