Antwoord:
# x = arctan (-3) + 180 ^ circ k of x = -45 ^ circ + 180 ^ circ k quad # voor integer # K. #
Uitleg:
Ik heb dit op twee verschillende manieren uitgewerkt, maar ik denk dat deze derde manier het beste is. Er zijn verschillende dubbelhoekformules voor cosinus. Laat ons niet verleiden door een van hen. Laten we ook kwadratenvergelijkingen vermijden.
#cos 2x + 2 sin 2x + 2 = 0 #
#cos 2x + 2 sin 2x = -2 #
De lineaire combinatie van cosinus en sinus is een in fase verschoven cosinus.
Laat # r = sqrt {1 ^ 2 + 2 ^ 2} # en
# theta = tekst {Arc} tekst {tan} (2/1) #
Ik gaf de belangrijkste inverse tangens aan, hier in het eerste kwadrant, rond # Theta = 63,4 ^ circ #. We zijn verzekerd
# r cos theta = sqrt {5} (1 / sqrt {5}) = 1 #
# r sin theta = sqrt {5} (2 / sqrt {5}) = 2 #
Dus we kunnen onze vergelijking herschrijven
#sqrt {5} ((1 / sqrt {5}) cos 2x + (2 / sqrt {5}) sin 2x) = -2 #
# (1 / sqrt {5}) cos 2x + (2 / sqrt {5}) sin 2x = -2 / sqrt {5} #
# cos 2x cos theta + sin 2x sin theta = -2 / sqrt {5} #
#cos (2x - theta) = sin (-theta) #
#cos (2x - theta) = cos (90 ^ circ + theta) #
Onthoud altijd de algemene oplossing voor #cos x = cos a # is # x = pm a + 360 ^ circ k quad # voor integer # K #.
# 2x - theta = pm (90 ^ circ + theta) + 360 ^ circ k #
# 2x = theta pm (90 ^ circ + theta) + 360 ^ circ k #
# x = theta / 2 pm (45 ^ circ + theta / 2) + 180 ^ circ k #
De tekens één voor één nemen, # x = theta + 45 ^ circ + 180 ^ circ k of x = -45 ^ circ + 180 ^ circ k #
#phi = theta + 45 ^ circ # is een constante die we kunnen proberen een betere uitdrukking te krijgen voor:
#tan (phi) = tan (arctan (2) + 45 ^ circ) #
# = {tan arctan (2) + tan (45 ^ circ)} / {1- tan (arctan (2)) tan (45 ^ circ)} = {2 + 1} / {1 - 2} = -3 #
Wij weten # Phi # bevindt zich in het tweede kwadrant, niet in het gebruikelijke bereik van de hoofdwaarde.
#phi = tekst {Arc} tekst {tan} (- 3) + 180 ^ circ #
Dat blijkt niet uit te maken, want we voegen eraan toe # 180 ^ circ k # naar # Phi # in ieder geval in de algemene oplossing. Alles bij elkaar, # x = arctan (-3) + 180 ^ circ k of x = -45 ^ circ + 180 ^ circ k #
We hoeven niet nauwgezet te zijn wat betreft de hoofdwaarde van de arctan; omdat we toevoegen # 180 ^ circ k # elke waarde zal doen. We zouden de eerste kunnen schrijven # X = arctan (-3) # met de # 180 ^ circ k # impliciet, maar laten we het hier laten.
