Antwoord:
Het convergeert absoluut.
Uitleg:
Gebruik de test voor absolute convergentie. Als we de absolute waarde van de voorwaarden nemen, krijgen we de serie
#4 + 1 + 1/4 + 1/16 + …#
Dit is een geometrische reeks van gemeenschappelijke verhoudingen #1/4#. Zo komt het samen. Sinds beide # | A_n | # convergeert #een# convergeert absoluut.
Hopelijk helpt dit!
Antwoord:
# "Het is een eenvoudige geometrische reeks en deze komt absoluut overeen met" # # "som" = 16/5 = 3.2. "#
Uitleg:
# (1 + a + a ^ 2 + a ^ 3 + …) (1-a) = 1 ", op voorwaarde dat | a | <1" #
# => 1 + a + a ^ 2 + a ^ 3 + … = 1 / (1-a) #
# "Take" a = -1/4 ", dan hebben we" #
#=> 1-1/4+1/16-1/64+… = 1/(1+1/4) = 1/(5/4) = 4/5#
# "Nu is onze serie vier keer zoveel als de eerste term 4 is." #
# "Dus onze serie" #
#4-1+1/4-1/16+… = 4*4/5 = 16/5 = 3.2#
Antwoord:
De geometrische reeks convergeert absoluut met
#sum_ (n = 0) ^ ooa_n = 16/5, sum_ (n = 0) ^ oo | a_n | = 16/3 #
Uitleg:
Deze serie is zeker een afwisselende serie; het ziet er echter ook geometrisch uit.
Als we de gemeenschappelijke ratio kunnen bepalen die door alle termen wordt gedeeld, zijn de reeksen in de vorm
#sum_ (n = 0) ^ OOA (r) ^ n #
Waar #een# is de eerste term en # R # is de gemeenschappelijke ratio.
We moeten de sommatie vinden met behulp van de bovenstaande indeling.
Verdeel elke term met de term ervoor om de gemeenschappelijke ratio te bepalen # R #:
#-1/4=-1/4#
#(1/4)/(-1)=-1/4#
#(-1/16)/(1/4)=-1/16*4=-1/4#
#(1/64)/(-1/16)=1/64*-16=-1/4#
Dus, deze serie is geometrisch, met de gemeenschappelijke ratio # R = -1/4 #en de eerste term # A = 4. #
We kunnen de serie als schrijven
#sum_ (n = 0) ^ oo4 (-1/4) ^ n #
Bedenk dat een geometrische reeks #sum_ (n = 0) ^ OOA (r) ^ n # convergeert naar # A / (1-r) # als # | R | <1 #. Dus als het convergeert, kunnen we ook de exacte waarde vinden.
Hier, # | R | = | -1/4 | = 1/4 <1 #, dus de serie convergeert:
#sum_ (n = 0) ^ oo4 (-1/4) ^ n = 4 / (1 - (- 04/01)) = 4 / (04/05) = 4 * 4/5 = 16/5 #
Laten we nu eens kijken of het absoluut convergeert.
# A_n = 4 (-1/4) ^ n #
Verwijder de afwisselende negatieve term:
# A_n 4 = (-1) n ^ (1/4) ^ n #
Neem de absolute waarde, waardoor de afwisselende negatieve term verdwijnt:
# | A_n | = 4 (1/4) ^ n #
Dus, #sum_ (n = 0) ^ oo | a_n | = sum_ (n = 0) ^ oo4 (1/4) ^ n #
Wij zien # | R | = 1/4 <1 #, dus we hebben nog steeds convergentie:
#sum_ (n = 0) ^ oo4 (1/4) ^ n = 4 / (1-1 / 4) = 4 / (04/03) = 4 * 4/3 = 16/3 #
De serie convergeert absoluut, met
#sum_ (n = 0) ^ ooa_n = 16/5, sum_ (n = 0) ^ oo | a_n | = 16/3 #
