Antwoord:
#int (-3x + 5) / (x ^ 2-2x + 5) * dx #
# = Arctan ((x-1) / 2) -3 / 2ln (x ^ 2-2x + 5) #
Uitleg:
#int (-3x + 5) / (x ^ 2-2x + 5) * dx #
=# -int (3x-5) / (x ^ 2-2x + 5) * dx #
=# -int (3x-3-2) / (x ^ 2-2x + 5) * dx #
=# -int (3x-3) / (x ^ 2-2x + 5) * dx #+#int 2 / (x ^ 2-2x + 5) * dx #
=#int 2 / ((x-1) ^ 2 + 4) * dx #-# 3 / 2int (2x-2) / (x ^ 2-2x + 5) #
=#arctan ((x-1) / 2) -3 / 2ln (x ^ 2-2x + 5) #
Antwoord:
# = - 3 / 2ln (x ^ 2-2x + 5) + tan ^ -1 ((x-1) / 2) + C #
Uitleg:
#int (-3x + 5) / (x ^ 2-2x + 5) dx #
# = int (-3x + 5-2 + 2) / (x ^ 2-2x + 5) dx #
# = int (-3x + 3) / (x ^ 2-2x + 5) + 2 / (x ^ 2-2x + 5) dx #
# = - int (3x-3) / (x ^ 2-2x + 5) + dx int2 / (x ^ 2-2x + 5) dx #
Voor:
# -Int (3x-3) / (x + 5 ^ 2-2x) dx #
Gebruik de vervanging:
# U = x ^ + 5 2-2x #
#implies du = 2x-2dx impliceert 3 / 2du = 3x-3dx #
#therefore -int (3x-3) / (x ^ 2-2x + 5) dx = -int (3/2) / udu = -3 / 2ln (u) + C #
Keer de vervanging om:
# -3 / 2ln (x ^ 2-2x + 5) + C #
Nu voor de andere integraal:
# Int2 / (x ^ 2-2x + 5) dx #
Schrijf de noemer in vierkante vorm:
# X ^ 2-2x + 5 = (x-1) ^ 2 - (- 1) ^ 2 + 5 = (x-1) ^ 2 + 4 #
Zo:
# Int2 / (x ^ 2-2x + 5) dx = 2intdx / ((x-1) ^ 2 + 4) #
Vervang nu:
# 2u = (x-1) #
#implies du = 2dx # Zo:
# 2intdx / ((x-1) ^ 2 + 4) = 2int2 / (4u ^ 2 + 4) du = 4 / 4int1 / (u ^ 2 + 1) du #
Wat we herkennen, zal eenvoudig worden geïntegreerd met inverse tangens, waardoor we:
# = Tan ^ -1 (u) + C '#
Keer de vervanging om:
# = Tan ^ -1 ((x-1) / 2) + C '#
Vandaar dat het "iets" is:
#int (-3x + 5) / (x ^ 2-2x + 5) dx #
# = - int (3x-3) / (x ^ 2-2x + 5) + dx int2 / (x ^ 2-2x + 5) dx #
# = - 3 / 2ln (x ^ 2-2x + 5) + tan ^ -1 ((x-1) / 2) + C #
