Eenvoudige integraal: int {-3x + 5} / {x ^ 2-2x + 5} dx =?

Eenvoudige integraal: int {-3x + 5} / {x ^ 2-2x + 5} dx =?
Anonim

Antwoord:

#int (-3x + 5) / (x ^ 2-2x + 5) * dx #

# = Arctan ((x-1) / 2) -3 / 2ln (x ^ 2-2x + 5) #

Uitleg:

#int (-3x + 5) / (x ^ 2-2x + 5) * dx #

=# -int (3x-5) / (x ^ 2-2x + 5) * dx #

=# -int (3x-3-2) / (x ^ 2-2x + 5) * dx #

=# -int (3x-3) / (x ^ 2-2x + 5) * dx #+#int 2 / (x ^ 2-2x + 5) * dx #

=#int 2 / ((x-1) ^ 2 + 4) * dx #-# 3 / 2int (2x-2) / (x ^ 2-2x + 5) #

=#arctan ((x-1) / 2) -3 / 2ln (x ^ 2-2x + 5) #

Antwoord:

# = - 3 / 2ln (x ^ 2-2x + 5) + tan ^ -1 ((x-1) / 2) + C #

Uitleg:

#int (-3x + 5) / (x ^ 2-2x + 5) dx #

# = int (-3x + 5-2 + 2) / (x ^ 2-2x + 5) dx #

# = int (-3x + 3) / (x ^ 2-2x + 5) + 2 / (x ^ 2-2x + 5) dx #

# = - int (3x-3) / (x ^ 2-2x + 5) + dx int2 / (x ^ 2-2x + 5) dx #

Voor:

# -Int (3x-3) / (x + 5 ^ 2-2x) dx #

Gebruik de vervanging:

# U = x ^ + 5 2-2x #

#implies du = 2x-2dx impliceert 3 / 2du = 3x-3dx #

#therefore -int (3x-3) / (x ^ 2-2x + 5) dx = -int (3/2) / udu = -3 / 2ln (u) + C #

Keer de vervanging om:

# -3 / 2ln (x ^ 2-2x + 5) + C #

Nu voor de andere integraal:

# Int2 / (x ^ 2-2x + 5) dx #

Schrijf de noemer in vierkante vorm:

# X ^ 2-2x + 5 = (x-1) ^ 2 - (- 1) ^ 2 + 5 = (x-1) ^ 2 + 4 #

Zo:

# Int2 / (x ^ 2-2x + 5) dx = 2intdx / ((x-1) ^ 2 + 4) #

Vervang nu:

# 2u = (x-1) #

#implies du = 2dx # Zo:

# 2intdx / ((x-1) ^ 2 + 4) = 2int2 / (4u ^ 2 + 4) du = 4 / 4int1 / (u ^ 2 + 1) du #

Wat we herkennen, zal eenvoudig worden geïntegreerd met inverse tangens, waardoor we:

# = Tan ^ -1 (u) + C '#

Keer de vervanging om:

# = Tan ^ -1 ((x-1) / 2) + C '#

Vandaar dat het "iets" is:

#int (-3x + 5) / (x ^ 2-2x + 5) dx #

# = - int (3x-3) / (x ^ 2-2x + 5) + dx int2 / (x ^ 2-2x + 5) dx #

# = - 3 / 2ln (x ^ 2-2x + 5) + tan ^ -1 ((x-1) / 2) + C #