Wat is het orthocentrum van een driehoek met hoeken bij (9, 5), (3, 8) en (5, 6)?

Antwoord:

Stappen: (1) vind de hellingen van 2 kanten, (2) vind de hellingen van de lijnen loodrecht op die zijden, (3) vind de vergelijkingen van de lijnen met die hellingen die door de tegenovergestelde hoekpunten gaan, (4) vind de punt waar die lijnen elkaar kruisen, in dit geval het orthocenter #(6.67, 2.67)#.

Uitleg:

Om het orthocentrum van een driehoek te vinden, vinden we de hellingen (gradiënten) van twee zijden, en vervolgens de vergelijkingen van de lijnen loodrecht op die zijden.

We kunnen die hellingen plus de coördinaten van het punt tegenover de relevante zijde gebruiken om de vergelijkingen te vinden van de lijnen loodrecht op de zijden die de tegenovergestelde hoek passeren: deze worden de 'hoogten' voor de zijkanten genoemd.

Waar de hoogtes voor twee van de zijkanten elkaar kruisen, is het orthocenter (de hoogte voor de derde zijde zou ook door dit punt gaan).

Laten we onze punten labelen om het gemakkelijker te maken om ernaar te verwijzen:

Punt A = #(9, 5)#

Punt B = #(3, 8)#

Punt C = #(5, 6)#

Gebruik de formule om de helling te vinden:

#m = (y_2-y_1) / (x_2-x_1) #

#m_ (AB) = (8-5) / (9-3) = 3/6 = 1/2 #

#m_ (BC) = (6-8) / (5-3) = (- 2) / 2 = -1 #

We willen deze hellingen echter niet, maar de hellingen van de lijnen loodrecht (haaks) op hen. De lijn loodrecht op een lijn met helling # M # heeft helling # -1 / m #, dus de lijn loodrecht op # AB # heeft helling #-2# en de lijn loodrecht op # BC # heeft helling #1#.

Nu kunnen we de vergelijkingen van de hoogten van Punt C (tegenover AB) en Punt A (tegenover BC) vinden door de coördinaten van die punten in de vergelijking te vervangen

# Y = mx + c #

Voor punt C is de hoogte:

# 6 = -2 (5) + c # wat geeft # C = 6 + 10 = 16 # daarom #y = -2x + 16 #

Evenzo, voor punt A:

# 5 = 1 (9) + c # wat geeft # C = 5-9 = -4 # dus de vergelijking is:

# Y = x-4 #

Om het orthocenter te vinden, moeten we eenvoudig het punt vinden waar deze twee lijnen elkaar kruisen. We kunnen ze aan elkaar gelijkstellen:

# -2x + 16 = x-4 #

Het herschikken, # 3x = 20 tot x ~~ 6.67 #

Vervang in beide vergelijkingen om de # Y # waarde, dat is #2.67#.

Daarom is het orthocenter het punt #(6.67, 2.67)#.

De hoogte van een driehoek neemt toe met een snelheid van 1,5 cm / min, terwijl het oppervlak van de driehoek met een snelheid van 5 vierkante cm / min toeneemt. Met welk tempo verandert de voet van de driehoek wanneer de hoogte 9 cm is en het gebied 81 vierkante cm is?

Dit is een probleem met de bijbehorende tarieven (van verandering). De variabelen die van belang zijn, zijn a = hoogte A = gebied en omdat het gebied van een driehoek A = 1 / 2ba is, hebben we b = basis nodig. De opgegeven snelheden zijn in eenheden per minuut, dus de (onzichtbare) onafhankelijke variabele is t = tijd in minuten. We krijgen: (da) / dt = 3/2 cm / min (dA) / dt = 5 cm "" ^ 2 / min En we worden gevraagd om (db) / dt te vinden als a = 9 cm en A = 81cm "" ^ 2 A = 1 / 2ba, differentiërend ten opzichte van t, we krijgen: d / dt (A) = d / dt (1 / 2ba). We hebben de productregel aan de rech

De basis van een driehoek van een bepaald gebied varieert omgekeerd als de hoogte. Een driehoek heeft een basis van 18 cm en een hoogte van 10 cm. Hoe vind je de hoogte van een driehoek van hetzelfde oppervlak en met een basis van 15 cm?

Hoogte = 12 cm Het oppervlak van een driehoek kan worden bepaald met het vergelijkingsgebied = 1/2 * basis * hoogte Zoek het gebied van de eerste driehoek door de metingen van de driehoek in de vergelijking te plaatsen. Areatriangle = 1/2 * 18 * 10 = 90cm ^ 2 Laat de hoogte van de tweede driehoek = x. Dus de gebiedsvergelijking voor de tweede driehoek = 1/2 * 15 * x Aangezien de gebieden gelijk zijn, 90 = 1/2 * 15 * x Tijden beide zijden met 2. 180 = 15x x = 12

Twee hoeken van een driehoek hebben hoeken van (2 pi) / 3 en (pi) / 4. Als een zijde van de driehoek een lengte van 12 heeft, wat is dan de langst mogelijke omtrek van de driehoek?

De langst mogelijke omtrek is 12 + 40.155 + 32.786 = 84.941. Aangezien twee hoeken (2pi) / 3 en pi / 4 zijn, is de derde hoek pi-pi / 8-pi / 6 = (12pi-8pi-3pi) / 24- = pi / 12. Voor de langste perimeterzijde van lengte 12, zeg a, moet de tegenoverliggende kleinste hoek pi / 12 zijn en dan wordt de sinusformule gebruikt, andere twee zijden zijn 12 / (sin (pi / 12)) = b / (sin ((2pi) / 3)) = c / (sin (pi / 4)) Vandaar b = (12sin ((2pi) / 3)) / (sin (pi / 12)) = (12xx0.866) /0.2588=40.155 en c = ( 12xxsin (pi / 4)) / (sin (pi / 12)) = (12xx0.7071) /0.2588=32.786 De langst mogelijke omtrek is dus 12 + 40.155 + 32.786 = 84.941.