Vraag # 6bd6c

Antwoord:

0

Uitleg:

#f (x) = x ^ 3-x # is een vreemde functie. Het verifieert #f (x) = -f (-x) #

zo # int_-1 ^ 1f (x) dx = int_-1 ^ 0f (x) dx + int_0 ^ 1f (x) dx = int_0 ^ 1f (-x) dx + int_0 ^ 1f (x) dx = int_0 ^ 1 (f (x) + f (-x)) dx = 0 #

Antwoord:

# Int_-1 ^ 1 (x ^ 3-x) dx = 0 #

Het kan het gebied zijn, maar de functie houdt geen constant teken tussen #x in -1,1 #. Ook vanwege symmetrie in # X = 0 # die met de helft van dit interval doorsnijdt, neutraliseren de gebieden elkaar en vervuilen ze het gebied.

Uitleg:

Geometrisch is de integraal van een functie van slechts één variabele gelijk aan een gebied. De geometrie suggereert echter dat de functie met een kleinere waarde wordt afgetrokken van de functie met de grotere waarde, zodat het gebied niet negatief is. Meer specifiek, voor twee functies #f (x) # en #G (x) # het gebied tussen de twee grafieken in # A, b # is:

# Int_a ^ b | f (x) -g (x) | dx #

Dat wil zeggen, men moet weten welke van de volgende gevallen feitelijk geldt:

#f (x)> g (x) #

#f (x) <g (x) #

Nu je je functie overweegt, vind je het teken van het verschil tussen deze functies:

# X ^ 3-x = 0 #

#x (x ^ 2-1) = 0 #

#x (x-1) (x + 1) = 0 #

We zien dat voor het gegeven gebied van #-1,1# dat de oefening je geeft, verandert het teken eigenlijk van positief in negatief naar # X = 0 #. Daarom geometrisch vertegenwoordigt deze bepaalde integraal NIET het gebied. Het daadwerkelijke gebied is:

# A = int_-1 0 ^ (x ^ 3-x) dx-int_0 1 ^ (x ^ 3-x) dx #

Omdat het gebied van 0 tot 1 negatief zou zijn, voegen we gewoon een minteken toe, zodat het klopt. Als je de integralen oplost:

# A = x ^ 4/4-x ^ 2/2 _- 1 ^ 0- x ^ 4/4-x ^ 2/2 _0 ^ 1 #

# A = 1/4 - (- 04/01) #

#Α=2/4#

Merk op dat de twee integralen dezelfde waarde opleveren? Dat komt door de symmetrie van de functie, waardoor je integraal negatief wordt.

Op te sommen:

Je integraal is gelijk aan:

# Int_-1 ^ 1 (x ^ 3-x) dx = x ^ 4/4-x ^ 2/2 _- ^ 1 = 1 1 / 4-1 / 4 = 0 #

Het gebied van de functie, als het werd gevraagd, zou zijn:

# A = int_-1 0 ^ (x ^ 3-x) dx-int_0 1 ^ (x ^ 3-x) dx = 1/4 + 1/4 = 2/4 #

Daarom kan het aan het gebied herinneren, maar de integraal die u krijgt geeft NIET het gebied weer (u zou dit vanaf het begin kunnen weten, omdat een gebied niet 0 kan zijn). Het enige geometrische resultaat dat zou kunnen worden verkregen, zou de symmetrie van de functie zijn. Voor as van symmetrie # X = 0 # de symmetrische waarden van #X# #-1# en #+1# dezelfde gebieden opleveren, dus de functie is hoogstwaarschijnlijk symmetrisch. Als je de twee functies in hetzelfde blad grafisch weergeeft, kun je zien dat het eigenlijk symmetrisch is: