Hoe vind je het antiderivaat van (e ^ x) / (1 + e ^ (2x))?

Antwoord:

#arctan (e ^ x) + C #

Uitleg:

# "schrijf" e ^ x "dx als" d (e ^ x) ", dan verkrijgen we" #

#int (d (e ^ x)) / (1+ (e ^ x) ^ 2) #

# "met de vervanging y =" e ^ x ", krijgen we" #

#int (d (y)) / (1 + y ^ 2) #

# "wat gelijk is aan" #

#arctan (y) + C #

# "Nu vervangen door" y = e ^ x: #

#arctan (e ^ x) + C #

Antwoord:

#int e ^ x / (1 + e ^ (2x)) "d" x = arctane ^ x + "c" #

Uitleg:

We willen vinden # Inte ^ x / (1 + e ^ (2x)) "d" x = int1 / (1+ (e ^ x) ^ 2) e ^ x "d" x #

Nu laat # U = e ^ x # en dus neemt het verschil aan beide zijden # Du = e ^ xdx #. Nu vervangen we beide vergelijkingen in de integraal om te krijgen

# Int1 / (1 + u ^ 2) "d" u #

Dit is een standaardintegriteit die evalueert naar # Arctanu #. Vervangen voor #X# we krijgen een definitief antwoord:

#arctan e ^ x + "c" #

Antwoord:

#int e ^ x / (1 + e ^ (2x)) dx = tan ^ -1 (e ^ x) + C #

Uitleg:

Ten eerste, we laten het # U = 1 + e ^ (2x) #. Integreren met betrekking tot # U #, we delen door de afgeleide van # U #, dat is # 2e ^ (2x) #:

#int e ^ x / (1 + e ^ (2x)) dx = 1 / 2int e ^ x / (e ^ (2x) * u) du = 1 / 2int e ^ x / (e ^ x * e ^ x * u) du = #

# = 1 / 2int 1 / (e ^ x * u) du #

Integreren met betrekking tot # U #, we hebben alles nodig wat uitgedrukt wordt in termen van # U #, dus we moeten oplossen voor wat # E ^ x # is in termen van # U #:

# U = 1 + e ^ (2x) #

# E ^ (2x) = u-1 #

# 2x = ln (u-1) #

# X = 1 / 2ln (u-1) #

# X = ln ((u-1) ^ (1/2)) = ln (sqrt (u-1)) #

# E ^ x = e ^ (ln (sqrt (u-1))) = sqrt (u-1) #

Nu kunnen we dit weer aansluiten op de integraal:

# = 1 / 2int 1 / (e ^ x * u) du = 1 / 2int 1 / (sqrt (u-1) * u) du #

Vervolgens introduceren we een vervanging met # Z = sqrt (u-1) #. Het derivaat is:

# (Dz) / (du) = 1 / (2sqrt (u-1) #

dus we delen ons ermee om te integreren met betrekking tot # Z # (onthoud dat delen gelijk is aan vermenigvuldiging met het omgekeerde):

# 1 / 2int 1 / (sqrt (u-1) * u) du = 1 / 2int 1 / (sqrt (u-1) * u) * 2sqrt (u-1) dz = #

# = 2 / 2int 1 / u dz #

Nu hebben we opnieuw de verkeerde variabele, dus we moeten oplossen voor wat # U # is gelijk aan in termen van # Z #:

# Z = sqrt (u-1) #

# U-1 = z ^ 2 #

# U = z ^ 2 + 1 #

Dit geeft:

#int 1 / u dz = int 1 / (1 + z ^ 2) dz #

Dit is de gebruikelijke afgeleide van # Tan ^ -1 (z) #, dus we krijgen:

#int 1 / (1 + z ^ 2) dz = tan ^ -1 (z) + C #

Alle substituties ongedaan maken, krijgen we:

# Tan ^ -1 (z) + C = tan ^ -1 (sqrt (u-1)) + C = #

# = Tan ^ -1 (sqrt (1 + e ^ (2x) -1)) + C = tan ^ -1 ((e ^ (2x)) ^ (1/2)) + C = #

# = Tan ^ -1 (e ^ x) + C #