De som van het kwadraat van drie gehele getallen is 324. Hoe vind je de gehele getallen?

Antwoord:

De enige oplossing met verschillende positieve gehele getallen is #(2, 8, 16)#

De volledige reeks oplossingen is:

#{ (0, 0, +-18), (+-2, +-8, +-16), (+-8, +-8, +-14), (+-6, +-12, +-12) }#

Uitleg:

We kunnen onszelf wat moeite besparen door te kijken naar de vorm van vierkanten.

Als # N # is dan een oneven geheel getal #n = 2k + 1 # voor een geheel getal # K # en:

# n ^ 2 = (2k + 1) ^ 2 = 4 (k ^ 2 + k) + 1 #

Merk op dat dit een vreemd geheel getal is van de vorm # 4p + 1 #.

Dus als u de vierkanten van twee oneven gehele getallen toevoegt, krijgt u altijd een geheel getal van het formulier # 4k + 2 # voor een geheel getal # K #.

Let daar op #324 = 4*81# is van de vorm # 4k #, niet # 4k + 2 #.

Vandaar dat we kunnen afleiden dat de drie gehele getallen allemaal gelijk moeten zijn.

Er zijn sindsdien een eindig aantal oplossingen in gehele getallen # n ^ 2> = 0 # voor een geheel getal # N #.

Overweeg oplossingen in niet-negatieve gehele getallen. We kunnen aan het einde varianten met negatieve gehele getallen toevoegen.

Stel dat het grootste gehele getal is # N #, dan:

# 324/3 = 108 <= n ^ 2 <= 324 = 18 ^ 2 #

Zo:

# 12 <= n <= 18 #

Dat resulteert in mogelijke sommen vierkanten van de andere twee gehele getallen:

#324 - 18^2 = 0#

#324 - 16^2 = 68#

#324 - 14^2 = 128#

#324 - 12^2 = 180#

Voor elk van deze waarden # K #, stel dat het grootste resterende gehele getal is # M #. Dan:

# k / 2 <= m ^ 2 <= k #

en we vereisen # K-m ^ 2 # om een perfect vierkant te zijn.

Daarom vinden we oplossingen:

#(0, 0, 18)#

#(2, 8, 16)#

#(8, 8, 14)#

#(6, 12, 12)#

Dus de enige oplossing met verschillende positieve gehele getallen is #(2, 8, 16)#

# x ^ 2 + y ^ 2 + z ^ 2 = 2 ^ 2 3 ^ 4 = w ^ 2 #

Het is gemakkelijk om dat te laten zien # X, y # en # Z # moet zelfs zijn omdat maken # x = 2m_x + 1, y = 2m_y + 1 # en # Z = 2m_z # wij hebben

# 4m_x ^ 2 + 4m_x + 4m_y ^ 2 + 4m_y + 4m_z ^ 2 + 2 = 4xx 3 ^ 4 # of

# 2m_x ^ 2 + 2m_x + 2m_y ^ 2 + 2m_y + 2m_z ^ 2 + 1 = 2 xx 3 ^ 4 # dat is absurd.

Dus zullen we vanaf nu overwegen

# m_x ^ 2 + m_y ^ 2 + m_z ^ 2 = 3 ^ 4 #

Nu rekening houdend met de identiteit

# ((L ^ 2 + m ^ 2-n ^ 2) / n) ^ 2 + (2 l) ^ 2 + (2m) ^ 2 = ((l ^ 2 + m ^ 2 + n ^ 2) / n) ^ 2 #

met # L, m, n # willekeurige positieve gehele getallen en maken

# {(m_x = (l ^ 2 + m ^ 2-n ^ 2) / n), (m_y = 2l), (m_z = 2m), (m_w = (l ^ 2 + m ^ 2 + n ^ 2) / n):} # ------ 1

wij hebben

# l ^ 2 + m ^ 2 + n ^ 2 = 3 ^ 2 n # of oplossen voor # N #

#n = 1/2 (9 pm sqrt (9 ^ 2-4 (l ^ 2 + m ^ 2))) #

dus voor de haalbaarheid die we nodig hebben

# 9 ^ 2-4 (l + ^ 2 m ^ 2) = p ^ 2 # of

# 9 ^ 2-p ^ 2 = 4 (l ^ 2 + m ^ 2) = q #

dus voor # P = {1,2,3,4,5,6,7,8} # we zullen hebben

#q = {80,77,72,65,56,45,32,17} # dus het haalbare # Q # zijn

#q_f = {80,72,56,32} # omdat #q equiv 0 mod 4 #

dus we moeten vinden

# 4 (l_i ^ 2 + m_i ^ 2) = q_i # of

# l_i ^ 2 + m_i ^ 2 = 1/4 q_i = balk q_i = {20,18,14,8} #

Hier, zoals we gemakkelijk kunnen verifiëren, is de enige oplossing voor

# L_1 = 2, M_1 = 4 # omdat

# l_1 ^ 2 + m_1 ^ 2 = balk q_1 #

en bijgevolg # n_1 = {4,5} #

en substitueren in 1 we krijgen

# n_1 = 4 rArr {(m_x = 1), (m_y = 4), (m_z = 8):} #

# n_1 = 5 rArr {(m_x = -1), (m_y = 4), (m_z = 8):} #

de oplossing geven

# {(x = 2m_x = 2), (y = 2m_y = 8), (z = 2m_z = 16):} #