Wat is de kans om te winnen in de volgende oneindig herhaalde game?

Antwoord:

# "Antwoord D)" #

Uitleg:

# "Het is het enige logische antwoord, de andere zijn onmogelijk." #

# "Dit is het ruïneprobleem van de gokker." #

# "Een gokker begint met k dollar." #

# "Hij speelt totdat hij G-dollar bereikt of terugvalt naar 0." #

#p = "kans dat hij 1 dollar wint in één spel." #

#q = 1 - p = "kans dat hij 1 dollar in één spel verliest." #

# "Bel" r_k "de kans (kans) dat hij geruïneerd wordt." #

#"Dan hebben we"#

# r_0 = 1 #

#r_G = 0 #

#r_k = p * r_ {k + 1} + q * r_ {k-1}, "with" 1 <= k <= G-1 #

# "We kunnen deze vergelijking als volgt herschrijven door p + q = 1:" #

#r_ {k + 1} - r_k = (q / p) (r_k - r_ {k-1}) #

# => r_ {k + 1} - r_k = (q / p) ^ k (r_1 - r_0) #

# "Nu hebben we hier het geval" p = q = 1 / 2. #

# => r_ {k + 1} - r_k = r_1 - r_0 #

#r_G - r_0 = -1 = sum_ {k = 0} ^ {G-1} (r_ {k + 1} - r_k) #

# = sum_ {k = 0} ^ {G-1} (r_1 - r_0) #

# => r_1 - r_0 = -1 / G #

# "Voor" r_k "hebben we" #

#r_k - r_0 = sum_ {i = 0} ^ {k-1} (r_ {i + 1} - r_i) #

# = k * (r_1 - r_0) #

# = - k / G #

# => r_k = r_0 - k / G = 1 - k / G = (G - k) / G #

# "Dus speler A begint hier met k = een dollar en speelt tot" #

# "hij wordt geruïneerd of heeft een + b dollar." #

# => k = a, "en" G = a + b #

# "Dus de kans dat hij geruïneerd wordt, is" #

# (G - k) / G = (a + b-a) / (a + b) = b / (a + b) #

# "De kansen die hij wint zijn" #

# 1 - b / (a + b) = a / (a + b) => "Antwoord D)" #