Wat is het bereik van y = [(1-x) ^ (1/2)] / (2x ^ 2 + 3x + 1)?

Laten we eerst eens kijken naar het domein:

Voor welke waarden van #X# is de functie gedefinieerd?

De teller # (1-x) ^ (1/2) # is alleen gedefinieerd wanneer # (1-x)> = 0 #. Het toevoegen #X# aan beide kanten van deze vind je #x <= 1 #.

We eisen ook dat de noemer niet-nul is.

# 2x ^ 2 + 3x + 1 = (2x + 1) (x + 1) # is nul wanneer #x = -1 / 2 # en wanneer #x = -1 #.

Dus het domein van de functie is

# {x in RR: x <= 1 en x! = -1 en x! = -1/2} #

Bepalen #f (x) = (1-x) ^ (1/2) / (2x ^ 2 + 3x + 1) # op dit domein.

Laten we elk continu interval in het domein afzonderlijk beschouwen:

Laat in elk geval #epsilon> 0 # wees een klein positief getal.

Geval (a): #x <-1 #

Voor grote negatieve waarden van #X#, #f (x) # is klein en positief.

Aan het andere einde van dit interval, als #x = -1 - epsilon # dan

#f (x) = f (-1-epsilon) ~ = sqrt (2) / (((2 xx -1) +1) (- 1 - epsilon + 1)) #

# = sqrt (2) / epsilon -> + oo # zoals #epsilon -> 0 #

Dus voor #x <-1 # het bereik van #f (x) # is # (0, + oo) #

Geval (b): # -1 / 2 <x <= 1 #

#f (-1 / 2 + epsilon) ~ = sqrt (3/2) // ((2 (-1 / 2 + epsilon) + 1) (- 1/2 + 1) #

# = sqrt (3/2) / epsilon -> + oo # zoals #epsilon -> 0 #

#f (1) = 0/1 = 0 #

Dus voor # -1 / 2 <x <= 1 # het bereik van #f (x) # is # 0, + oo) #

Geval (c): # -1 <x <-1 / 2 #

#f (-1 + epsilon) ~ = sqrt (2) / (((2xx-1) + 1) (- 1 + epsilon + 1)) #

# = -sqrt (2) / epsilon -> -oo # zoals #epsilon -> 0 #

#f (-1 / 2-epsilon) ~ = sqrt (3/2) / ((2 (-1 / 2-epsilon) + 1) (- 1/2 + 1) #

# = -sqrt (3/2) / epsilon -> -oo # zoals #epsilon -> 0 #

Dus de interessante vraag is wat de maximale waarde is van #f (x) # in dit interval. Om de waarde van te vinden #X# waarvoor dit gebeurt, zoekt naar de afgeleide die nul is.

# D / (dx) f (x) #

# = (1/2 (1-x) ^ (- 1/2) xx-1) / (2x ^ 2 + 3x + 1) + ((1-x) ^ (1/2) xx-1xx (2x ^ 2 + 3x + 1) ^ (- 2) xx (4x + 3)) #

# = (-1/2 (1-x) ^ (- 1/2)) / (2x ^ 2 + 3x + 1) - ((1-x) ^ (1/2) (4x + 3)) / (2x ^ 2 + 3x + 1) ^ 2 #

# = ((-1/2 (1-x) ^ (- 1/2) (2x ^ 2 + 3x + 1)) - ((1-x) ^ (1/2) (4x + 3))) / (2x ^ 2 + 3x + 1) ^ 2 #

Dit is nul als de teller nul is, dus we willen dit oplossen:

# -1 / 2 (1-x) ^ (- 1/2) (2x ^ 2 + 3x + 1) - ((1-x) ^ (1/2) (4x + 3)) = 0 #

Vermenigvuldigen door met # 2 (1-x) ^ (1/2) # te krijgen:

# - (2x ^ 2 + 3x + 1) -2 (1-x) (4x + 3) = 0 #

Dat is:

# 6x ^ 2-5x-7 = 0 #

wat wortels heeft # (5 + -sqrt (25 + 4xx6xx7)) / 12 = (5 + -sqrt (194)) / 12 #

Van deze wortels, #x = (5-sqrt (194)) / 12 # valt in het betreffende interval.

Vervang dit terug in #f (x) # om het maximum van #f (x) in dit interval te vinden (ongeveer -10).

Dit lijkt mij te ingewikkeld. Heb ik fouten gemaakt?

Antwoord: Het bereik van de functie is # (- oo, -10.58 uu 0, oo) #

Voor #x in (-oo, -1) # #-># #y in (0, oo) #

Voor #x in (-1, -0.5) # #-># #y in (-oo, -10.58 #

Voor #x in (-0.5, 1 # #-># #y in 0, oo) #