Help alstublieft. Ik weet niet zeker hoe snel dit te doen zonder het allemaal te vermenigvuldigen?

Antwoord:

Het antwoord op (ik) is #240#.

Het antwoord op (Ii) is #200#.

Uitleg:

We kunnen dit doen door de driehoek van Pascal te gebruiken, zoals hieronder te zien is.

(ik)

Omdat de exponent is #6#, we moeten de zesde rij in de driehoek gebruiken, inclusief #color (paars) (1, 6, 15, 20, 15, 6) # en #color (paars) 1 #. Kortom, we zullen gebruiken #color (blauw) 1 # als de eerste term en #color (rood) (2x) # als de tweede. Vervolgens kunnen we de volgende vergelijking maken. De exponent van de eerste term neemt toe met #1# elke keer en de exponent van de tweede term neemt af met #1# met elke term uit de driehoek.

# (Kleur (paars) 1 * kleur (blauw) (1 ^ 0) * kleur (rood) ((2x) ^ 6)) + (kleur (paars) 6 * kleur (blauw) (1 ^ 1) * Kleur (red) ((2x) ^ 5)) + (kleur (paarse) 15 * kleur (blauw) (1 ^ 2) * (rood) ((2x) ^ 4)) + (kleur (paarse) 20 * kleur (blue) (1 ^ 3) * (rood) ((2x) ^ 3)) + (kleur (paarse) 15 * kleur (blauw) (1 ^ 4) * (rood) ((2 x) ^ 2)) + (kleur (paars) 6 * kleur (blauw) (1 ^ 5) * kleur (rood) ((2x) ^ 1)) + (kleur (paars) 1 * kleur (blauw) (1 ^ 6) * kleur (rood) ((2x) ^ 0)) #

Dan kunnen we het vereenvoudigen.

# 64x ^ 6 + 192x ^ 5 + 240x ^ 4 + 3 + 160x ^ 60x ^ 2 + 12x + 1 #

Daarom is de coëfficiënt van # X ^ 4 # is #240#.

(Ii)

We kennen de uitbreiding van # (1 + 2x) ^ 6 #. Nu kunnen we de twee uitdrukkingen samen vermenigvuldigen.

#color (bruin) (1-x (1/4)) * Kleur (oranje) (64x ^ 6 + 192x ^ 5 + 240x ^ 4 + 3 + 160x ^ 60x ^ 2 + 12x + 1) #

De coëfficiënt van de #X# in # 1-x (1/4) # is #1#. Dus we weten dat het de waarden van de exponenten in de andere uitdrukking verhoogt met #1#. Omdat we de coëfficiënt van nodig hebben # X ^ 4 #, we moeten gewoon vermenigvuldigen # 160x ^ 3 # door # 1-x (1/4) #.

# 160x ^ 3-40x ^ 4 #

Nu moeten we het toevoegen # 240x ^ 4 #. Dit is een deel van de oplossing van # 240x ^ 4 * (1-x (1/4)) #, vanwege de vermenigvuldiging met #1#. Het is belangrijk omdat het ook een exponent heeft van #4#.

# -40x ^ 4 ^ 4 + 240x = 200x ^ 4 #

Daarom is de coëfficiënt #200#.

Antwoord:

ik. # 240x ^ 4 #

ii. # 200x ^ 4 #

Uitleg:

De binomiale uitbreiding voor # (A + bx) ^ c # kan worden weergegeven als:

#sum_ (n = 0) ^ c (c!) / (n! (c-n)!) a ^ (c-n) (bx) ^ n #

Voor deel 1 hebben we alleen wanneer nodig # N = 4 #:

# (6?) / (4! (6-4)!) 1 ^ (6-4) (2x) ^ 4 #

# 720 / (24 (2)) 16x ^ 4 #

# 720/48 16x ^ 4 #

# 15 * 16x ^ 4 #

# 240x ^ 4 #

Voor deel 2 hebben we ook het # X ^ 3 # termijn vanwege de # X / 4 #

# (6!) / (3! (6-3)!) 1 ^ (6-3) (2x) ^ 3 #

# 720 / (3! (3)!) 8x ^ 3 #

# 720 / (6 ^ 2) 8x ^ 3 #

# 720/36 8x ^ 3 #

# 20 * 8x ^ 3 #

# 160x ^ 3 #

# 160x ^ 3 (-x / 4) = - ^ 40x 4 #

# -40x ^ 4 ^ 4 + 240x = 200x ^ 4 #