Hoe converteer je r = 1 / (4 - costheta) in cartesiaanse vorm?

Antwoord:

# 15 x ^ 2 - 2 x + 16 y ^ 2 = 1 #

Uitleg:

Hé, Socratisch: Is het echt nodig om ons te vertellen dat dit 9 minuten geleden werd gevraagd? Ik hou er niet van om voorgelogen te worden. Vertel ons dat het twee jaar geleden werd gevraagd en dat niemand het heeft kunnen doen. En hoe zit het met de verdacht identiek geformuleerde vragen die vanuit meerdere plaatsen worden gesteld? Om nog maar te zwijgen van Santa Cruz, Verenigde Staten? Er is bijna zeker meer dan één, hoewel ik die in Californië leuk hoor. Geloofwaardigheid en reputatie zijn belangrijk, vooral op een huiswerksite. Misleid mensen niet. Einde razernij.

Bij het converteren van vergelijkingen van polaire naar rechthoekige coördinaten wordt de brute kracht rechthoekig naar polair vervangen

#r = sqrt {x ^ 2 + y ^ 2} #

#theta = tekst {arctan2} (y "/," x) quad #

is zelden de beste aanpak. (Ik wijs hier met opzet de vierkwadrant inverse tangens aan, maar laten we niet doorschakelen.)

Idealiter willen we de polaire tot rechthoekige substituties gebruiken, #x = r cos theta #

# y = r sin theta #

# x ^ 2 + y ^ 2 = r ^ 2 cos ^ 2 theta + r ^ 2 sin ^ 2 theta = r ^ 2 #

OK, laten we de vraag eens bekijken.

# r = 1 / {4 - cos theta} #

Deze polaire vergelijkingen maken over het algemeen een negatief # R #, maar hier zijn we zeker van # R # is altijd positief.

#r (4 - cos theta) = 1 #

Ik denk dat dit ellipsen zijn, wat niet echt uitmaakt, maar ons wel een idee geeft hoe we hopen dat de rechthoekige vorm eruit zal zien. We willen streven naar iets zonder wortels of arctangents # R = sqrt {x ^ 2 + y ^ 2} # heeft vierkantswortels, maar #rcos theta = x # niet, dus breiden we uit.

# 4r - rcos theta = 1 #

Nu vervangen we gewoon; we doen het in stappen.

# 4r -x = 1 #

# 4r = x + 1 #

Laten we nu vierkant maken. Wij weten #R> 0 #

# 16 r ^ 2 = (x + 1) ^ 2 #

# 16 (x ^ 2 + y ^ 2) = (x + 1) ^ 2 = x ^ 2 + 2x + 1 #

# 15 x ^ 2 - 2 x + 16 y ^ 2 = 1 #

Dit is een mooie cirkelvormige ellips. (Een kleinere constante dan #4# in het origineel zou een meer excentrische ellips geven.) We zouden het vierkant kunnen voltooien om het in standaardvorm te plaatsen, maar laten we het hier laten.